Para cada uma das matrizes abaixo, encontre uma forma escalonada, encontre os pivôs e determine o posto.
(e) F=\left[\begin{array}{c}-2 \\\\ 1 \\\\ 3 \\\\ 0 \\\\ -4\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para escalonar a matriz
F = \begin{pmatrix} -2\\\\ 1\\\\ 3\\\\ 0\\\\ -4 \end{pmatrix},
identificar os pivôs (elementos principais de cada linha não nula na forma escalonada) e então determinar o posto (número de pivôs). Para isso usaremos operações elementares de linha (troca, multiplicação por escalar e combinação linear) visando zerar todas as entradas abaixo do primeiro elemento não nulo.

Passo 2

Começamos identificando o primeiro elemento não nulo na coluna 1: ele está em F_{21}=1. Para facilitar a eliminação, trocamos a linha 1 com a linha 2. Isso não altera o posto. A matriz passa a ser
F_1 = \begin{pmatrix} 1\\\\ -2\\\\ 3\\\\ 0\\\\ -4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora usamos a primeira linha como pivô e zeramos todas as entradas abaixo dela pela operação
\text{linha}_i \,\leftarrow\,\text{linha}_i \;-\;\frac{F_{i1}}{F_{11}}\;\text{linha}_1,\qquad i=2,\dots,5.
Calculando cada uma:
– Para i=2: -2 - \frac{-2}{1}\cdot1 = -2 + 2 = 0.
– Para i=3: 3 - \frac{3}{1}\cdot1 = 3 - 3 = 0.
– Para i=4: 0 - \frac{0}{1}\cdot1 = 0.
– Para i=5: -4 - \frac{-4}{1}\cdot1 = -4 + 4 = 0.

Passo 4

Após essas eliminações, obtemos a forma escalonada
\mathrm{e}(F)= \begin{pmatrix} 1\\\\ 0\\\\ 0\\\\ 0\\\\ 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Na forma acima há exatamente um pivô, que é o 1 na posição (1,1). Como o posto de uma matriz é o número de pivôs na sua forma escalonada, concluímos que
\operatorname{rank}(F)=1.

Resposta

Forma escalonada:
\begin{pmatrix} 1\\\\ 0\\\\ 0\\\\ 0\\\\ 0 \end{pmatrix},
Pivô em (1,1),
Posto 1.

Exercícios relacionados