Para cada uma das matrizes abaixo, expressar e^t A como um polinômio em A.
A=[ccc0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -6 & -11 & -6],

Passo 1

O enunciado pede para escrever exp(tA) como um polinômio em A. O conteúdo principal é a aplicação do teorema de Cayley–Hamilton e interpolação polinomial nos autovalores de A.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(lambda I - A) = lambda & -1 & 0 0 & lambda & -1 6 & 11 & lambda+6 =lambda^3+6lambda^2+11lambda+6 =(lambda+1)(lambda+2)(lambda+3)
Os autovalores são lambda1=-1, lambda2=-2, lambda3=-3, todos distintos.

Passo 3

Pelo teorema de Cayley–Hamilton,
A^3 +6A^2 +11A +6I = 0,
logo qualquer polinômio em A de grau >=3 pode ser reduzido a grau <=2. Assim podemos escrever
e^tA = alpha(t),I + beta(t),A + gamma(t),A^2

Passo 4

Para cada autovalor lambdai vale
e^tlambdai ;=; alpha + beta,lambdai + gamma,lambdai^2
Isso gera o sistema
e^-t = alpha - beta + gamma, e^-2t = alpha - 2beta + 4gamma, e^-3t = alpha - 3beta + 9gamma

Passo 5

Subtraindo a primeira da segunda e a segunda da terceira, definimos
De<a1 = e^-2t-e^-t = -beta+3gamma, De<a2 = e^-3t-e^-2t = -beta+5gamma
Então
De<a2 - De<a1 = 2gamma Longrightarrow gamma = e^-3t-2e^-2t+e^-t2

Passo 6

De De<a1=-beta+3gamma segue
beta = 3gamma - (e^-2t-e^-t) = 32e^-3t-4e^-2t+52e^-t
E de e^-t=alpha-beta+gamma obtemos
alpha = e^-t + beta - gamma = e^-3t - 3e^-2t + 3e^-t

Passo 7

Substituindo alpha,beta,gamma em e^tA=alpha I+beta A+gamma A^2, temos
e^tA =l(e^-3t -3e^-2t +3e^-tr)I +l(tfrac32e^-3t -4e^-2t +tfrac52e^-tr)A +l(tfrac12e^-3t -e^-2t +tfrac12e^-tr)A^2

Resposta

e^tA =l(e^-3t -3e^-2t +3e^-tr)I +l(tfrac32e^-3t -4e^-2t +tfrac52e^-tr)A +l(tfrac12e^-3t -e^-2t +tfrac12e^-tr)A^2

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