Q 112 Derive cada uma das funções abaixo:
f(x)=ln [x^2 sen(x)raiz1+x];

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=ln!l[x^2sin(x)raiz1+xr]
Vamos usar propriedades do logaritmo (que transformam produto em soma e quociente em subtração) e depois aplicar a regra da cadeia para derivar cada termo.

Passo 2

Aplicando as propriedades de logaritmo temos
f(x) =ln(x^2)+lnl(sin(x)r) -lnl((1+x)^tfrac12r)
Como ln(x^2)=2ln(x) e ln((1+x)^tfrac12)=tfrac12ln(1+x), fica
f(x)=2ln(x)+lnl(sin(x)r)-tfrac12ln(1+x)

Passo 3

Derivamos termo a termo usando
ddxln(u)=u'u:
  • ddxl[2ln(x)r]=2cdot1x=2x
  • ddxl[ln(sin(x))r]=cos(x)sin(x)=cot(x)
  • ddxl[-tfrac12ln(1+x)r] =-tfrac12cdot11+x=-12(1+x)

Passo 4

Somando tudo, obtemos
f'(x)=2x+cot(x);-;12(1+x)

Resposta

f'(x)=2x+cot(x)-12(1+x)

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