Para cada uma das matrizes abaixo, expressar e^t A como um polinômio em A.
A=[llll1 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 4].

Passo 1

O enunciado pede para escrever
e^tA
como um polinômio em A, onde
A= 1 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 4
O conteúdo utilizado será o método de interpolação de Lagrange combinado com o teorema de Cayley–Hamilton: como A tem autovalores distintos 1,2,3,4, o polinômio mínimo é
m(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),
de modo que qualquer função analítica de A pode ser escrita como polinômio de grau <=3 em A.

Passo 2

Como o polinômio mínimo de A é
m(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),
sabemos que existe um polinômio p(x) de grau no máximo 3 tal que
e^tA=p(A)
Para determinarmos p, impomos a condição de interpolação em cada autovalor lambdaiin1,2,3,4:
p(lambdai)=e^lambdai t

Passo 3

O polinômio de Lagrange que satisfaz p(lambdai)=e^lambdai t é
p(x) =sumi=1^4 e^lambdai t,elli(x) com elli(x) =prodsubstackj=1 jneq i^4x-lambdajlambdai-lambdaj
Aqui lambda1=1,lambda2=2,lambda3=3,lambda4=4 e cada elli(x) tem grau 3.

Passo 4

Bast a substituir xmapsto A no polinômio de Lagrange. Logo
e^tA =sumi=1^4 e^lambdai t,elli(A) =sumi=1^4 e^lambdai t; prodsubstackj=1 jneq i^4A-lambdaj Ilambdai-lambdaj
Escrevendo explicitamente cada termo:
e^tA = e^t,(A-2I)(A-3I)(A-4I)(1-2)(1-3)(1-4) + e^2t,(A-1I)(A-3I)(A-4I)(2-1)(2-3)(2-4)
+ e^3t,(A-1I)(A-2I)(A-4I)(3-1)(3-2)(3-4) + e^4t,(A-1I)(A-2I)(A-3I)(4-1)(4-2)(4-3)

Resposta

boxed e^tA =sumi=1^4 e^i t, prodsubstackj=1 jneq i^4A-jI,i-j,

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