Resalva es squintes problemas de valor incial
6 y^prime prime prime+5 y^prime prime+y^prime=0, y(0)=-2, y^prime(0)=2, y^prime prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
6,y''' + 5,y'' + y' = 0, y(0) = -2,;y'(0) = 2,;y''(0)=0
O conteúdo principal é equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes. Vamos (i) obter a equação característica, (ii) achar suas raízes, (iii) montar a solução geral e (iv) ajustar as constantes pelos dados iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica trocando ymapsto e^rt:
6r^3 + 5r^2 + r = 0
Fatorando r, fica
r,(6r^2 + 5r + 1) = 0

Passo 3

As raízes vêm de
r = 0 ou 6r^2 + 5r + 1 = 0
Para a quadrática,
r = -5 pm raiz25 - 2412 = -5 pm 112,
isto é
r = -tfrac13 e r = -tfrac12

Passo 4

Como as raízes são distintas, a solução geral é
y(t) = A + B,e^-t/3 + C,e^-t/2,
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 5

Calculamos derivadas necessárias:
y'(t) = -tfrac13,B,e^-t/3 ;-;tfrac12,C,e^-t/2,
y''(t) = tfrac19,B,e^-t/3 ;+;tfrac14,C,e^-t/2

Passo 6

Aplicamos as condições em t=0:
y(0)=A+B+C = -2,
y'(0) = -tfrac13,B - tfrac12,C = 2,
y''(0)=tfrac19,B + tfrac14,C = 0
Da terceira equação vem
4B + 9C = 0 ;Longrightarrow; B = -tfrac94,C
Substituindo no segundo:
2l(-tfrac94Cr) + 3C = -12 ;Longrightarrow; -tfrac92C + tfrac62C = -12 ;Longrightarrow; -tfrac32C = -12 ;Longrightarrow; C = 8,
logo B = -tfrac94cdot 8 = -18. Por fim, da primeira:
A -18 + 8 = -2 ;Longrightarrow; A -10 = -2 ;Longrightarrow; A = 8

Passo 7

Substituindo A=8, B=-18, C=8 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(t) = 8 ;-; 18,e^-t/3 ;+; 8,e^-t/2

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