Considere a curva gamma(t)=(sen(3 t), e^t^2, t). Calcule gamma^prime(t) e gamma^prime(0).

Passo 1

O enunciado dá a curva vetorial
gamma(t)=l(sen(3t),,e^t^2,,tr)
e pede sua derivada gamma'(t) e o valor em t=0, ou seja gamma'(0).
O conteúdo aqui é derivação de funções vetoriais, que se faz componente a componente usando as regras básicas de derivação.

Passo 2

Derivando cada componente de gamma(t):
Para a primeira componente sen(3t), usamos a regra da cadeia:
ddt,sen(3t) =3cos(3t)
Para a segunda componente e^t^2, também pela cadeia:
ddt,e^t^2 =e^t^2cdot 2t =2t,e^t^2
Para a terceira componente t, a derivada é direta:
ddt,t =1
Logo,
gamma'(t)=l(3cos(3t),,2t,e^t^2,,1r)

Passo 3

Agora avaliamos em t=0:
gamma'(0) =l(3cos(0),,2cdot0cdot e^0^2,,1r) =l(3cdot1,,0,,1r) =(3,,0,,1)

Resposta

gamma'(t)=l(3cos(3t),,2t,e^t^2,,1r)
gamma'(0)=(3,,0,,1)

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