Para cada uma das matrizes
dadas abaixo, encontre uma matriz ortogonal
para a qual
seja diagonal.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma matriz ortogonal
tal que
seja diagonal. O conteúdo envolve diagonalização ortogonal de matrizes reais, para o qual precisamos usar o Teorema Espectral, que exige que a matriz seja simétrica.
Passo 2
Primeiro vamos verificar se
é simétrica. Calculando a transposta:
Como
(por exemplo, o elemento na posição
difere:
), concluímos que
não é simétrica.
Passo 3
O Teorema Espectral diz que uma matriz real é diagonalizável por uma matriz ortogonal se, e somente se, ela for simétrica. Como
não é simétrica, não existe matriz ortogonal
que diagonalize
via
.
Resposta
Não existe matriz ortogonal
tal que
seja diagonal, pois
não é simétrica.