Para cada uma das matrizes A dadas abaixo, encontre uma matriz ortogonal P para a qual P^t A P seja diagonal.
cc5 & 4 4 & -1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz simétrica A=5 & 44 & -1 via similaridade ortogonal, ou seja, queremos P^tAP=D diagonal. Para isso, precisamos usar a teoria de autovalores e autovetores de matrizes simétricas.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A. Temos
det(A-lambda I)=det5-lambda & 44 & -1-lambda=(5-lambda)(-1-lambda)-4cdot4
Expandindo,
(5-lambda)(-1-lambda)-16=-(5-lambda)(1+lambda)-16=-(5lambda+5-lambda^2-lambda)-16=lambda^2-4lambda-5-16=lambda^2-4lambda-21
Igualando a zero,
lambda^2-4lambda-21=0Longrightarrowlambda=4pmraiz16+842=4pm102,
logo os autovalores são lambda1=7 e lambda2=-3.

Passo 3

Para lambda1=7, resolvemos
(A-7I)x=0Longrightarrow-2 & 44 & -8xy=0
daqui vem -2x+4y=0 ou y=tfrac12x. Um autovetor é (2,1).

Passo 4

Para lambda2=-3,
(A+3I)x=0Longrightarrow8 & 44 & 2xy=0
que dá 8x+4y=0 ou y=-2x. Um autovetor é (1,-2).

Passo 5

Agora normalizamos esses vetores para obter uma base ortonormal. O vetor (2,1) tem norma raiz2^2+1^2=raiz5, e (1,-2) também tem norma raiz5. Portanto definimos
v1=l(tfrac2raiz5,tfrac1raiz5r), v2=l(tfrac1raiz5,-tfrac2raiz5r)

Passo 6

Colocando essas colunas em P, obtemos uma matriz ortogonal que diagonaliza A.

Resposta

A matriz ortogonal que diagonaliza A é
P=tfrac2raiz5 & tfrac1raiz5[6pt]tfrac1raiz5 & -tfrac2raiz5,
que satisfaz P^tAP=diag(7,-3).

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