Para cada uma das matrizes dadas abaixo, encontre uma matriz ortogonal para a qual seja diagonal.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma matriz ortogonal que diagonaliza a matriz simétrica via similaridade ortogonal, ou seja, queremos diagonal. Para isso, precisamos usar a teoria de autovalores e autovetores de matrizes simétricas.
Passo 2
Vamos calcular o polinômio característico de . Temos
Expandindo,
Igualando a zero,
logo os autovalores são e .
Passo 3
Para , resolvemos
daqui vem ou . Um autovetor é .
Passo 4
Para ,
que dá ou . Um autovetor é .
Passo 5
Agora normalizamos esses vetores para obter uma base ortonormal. O vetor tem norma , e também tem norma . Portanto definimos
Passo 6
Colocando essas colunas em , obtemos uma matriz ortogonal que diagonaliza .