Para cada uma das matrizes A dadas abaixo, encontre uma matriz ortogonal P para a qual P^t A P seja diagonal.
lll2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 1.

Passo 1

Resumo: Temos a matriz simétrica A=2&1&11&2&11&1&1. Queremos achar uma matriz ortogonal P cujas colunas sejam autovetores ortonormais de A, de modo que P^tAP seja a matriz diagonal dos autovalores.

Passo 2

Encontrar os autovalores de A resolvendo det(A-lambda I)=0. O polinômio característico é
det2-lambda&1&11&2-lambda&11&1&1-lambda=-lambda^3+5lambda^2-5lambda+1=0, que fatoriza como (lambda-1)(lambda^2-4lambda+1)=0. Logo os autovalores são
lambda1=1,lambda2=2+raiz3,lambda3=2-raiz3

Passo 3

Para lambda1=1, resolvemos (A-I)v=0, obtendo o autovetor
v^(1)=(1,-1,0)^t Normalizando v^(1):
|v^(1)|=raiz1^2+(-1)^2+0^2=raiz2, u^(1)=1raiz2(1,-1,0)^t

Passo 4

Para lambda2=2+raiz3, resolvemos (A-(2+raiz3)I)v=0 e encontramos
v^(2)=(1+raiz3,,1+raiz3,,2)^t Normalizando v^(2):
|v^(2)|=2raiz3+raiz3, u^(2)=12raiz3+raiz3(1+raiz3,,1+raiz3,,2)^t

Passo 5

Para lambda3=2-raiz3, resolvemos (A-(2-raiz3)I)v=0 e obtemos
v^(3)=(1-raiz3,,1-raiz3,,2)^t Normalizando v^(3):
|v^(3)|=2raiz3-raiz3, u^(3)=12raiz3-raiz3(1-raiz3,,1-raiz3,,2)^t

Passo 6

Construímos P com colunas u^(1),u^(2),u^(3). Então P é ortogonal e diagonaliza A.

Resposta

Uma escolha para P é
P= 1raiz2&1+raiz32raiz3+raiz3&1-raiz32raiz3-raiz3 -1raiz2&1+raiz32raiz3+raiz3&1-raiz32raiz3-raiz3 0&22raiz3+raiz3&22raiz3-raiz3 Esse P é ortogonal e satisfaz P^tAP=diag(1,2+raiz3,2-raiz3).

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