Para cada uma das matrizes dadas abaixo, encontre uma matriz ortogonal para a qual seja diagonal. .
Passo 1
Resumo: Temos a matriz simétrica A=2&1&11&2&11&1&1. Queremos achar uma matriz ortogonal P cujas colunas sejam autovetores ortonormais de A, de modo que P^tAP seja a matriz diagonal dos autovalores.
Passo 2
Encontrar os autovalores de A resolvendo det(A-lambda I)=0. O polinômio característico é
det2-lambda&1&11&2-lambda&11&1&1-lambda=-lambda^3+5lambda^2-5lambda+1=0, que fatoriza como (lambda-1)(lambda^2-4lambda+1)=0. Logo os autovalores são
lambda1=1,lambda2=2+raiz3,lambda3=2-raiz3
Passo 3
Para lambda1=1, resolvemos (A-I)v=0, obtendo o autovetor
Construímos P com colunas u^(1),u^(2),u^(3). Então P é ortogonal e diagonaliza A.
Resposta
Uma escolha para P é
P= 1raiz2&1+raiz32raiz3+raiz3&1-raiz32raiz3-raiz3 -1raiz2&1+raiz32raiz3+raiz3&1-raiz32raiz3-raiz3 0&22raiz3+raiz3&22raiz3-raiz3 Esse P é ortogonal e satisfaz P^tAP=diag(1,2+raiz3,2-raiz3).