Complete cada um dos subconjuntos E linearmente independentes abaixo de forma a obter uma base de E=R^3, n=2, u1=(1,2,4), u2=(0,1,4) :

Passo 1

O enunciado pede para completar o conjunto linearmente independente X = {u₁,u₂} em ℝ³, onde u₁=(1,2,4) e u₂=(0,1,4), de modo a obter uma base de E. O conteúdo aqui é bases em espaços vetoriais e independência linear em ℝ³.

Passo 2

Primeiro, confirmamos que u₁ e u₂ são linearmente independentes. Para isso, analisamos a combinação αu₁+βu₂=0. Escrevendo em coordenadas temos:
α(1,2,4)+β(0,1,4)=(α,2α+β,4α+4β)=(0,0,0)

Passo 3

Isso gera o sistema
α=0,2α+β=0,4α+4β=0

Passo 4

Da primeira equação vem α=0. Substituindo na segunda, β=0. Logo só a solução trivial existe, provando que u₁ e u₂ são independentes.

Passo 5

Para completar a base, precisamos de um vetor u₃ que não pertença ao span{u₁,u₂}. Uma maneira sistemática é usar o produto vetorial em ℝ³:
u₃ = u₁ times u₂

Passo 6

Calculando:
u₁ times u₂ = i & j & k 1 & 2 & 4 0 & 1 & 4 = i(2cdot4 - 4cdot1) - j(1cdot4 - 4cdot0) + k(1cdot1 - 2cdot0) = (4,-4,1)

Passo 7

Esse vetor u₃=(4,-4,1) é não nulo e ortogonal a u₁ e u₂, logo é linearmente independente dos dois primeiros.

Passo 8

Portanto, a base de ℝ³ obtida completando X é {u₁,u₂,u₃} com u₃=(4,-4,1).

Resposta

Uma escolha é u₃=(4,-4,1). Logo uma base de ℝ³ é {(1,2,4),(0,1,4),(4,-4,1)}.

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