Complete cada um dos subconjuntos
linearmente independentes abaixo de forma a obter uma base de
:
Passo 1
O enunciado pede para completar o conjunto linearmente independente X = {u₁,u₂} em ℝ³, onde u₁=(1,2,4) e u₂=(0,1,4), de modo a obter uma base de E. O conteúdo aqui é bases em espaços vetoriais e independência linear em ℝ³.
Passo 2
Primeiro, confirmamos que u₁ e u₂ são linearmente independentes. Para isso, analisamos a combinação αu₁+βu₂=0. Escrevendo em coordenadas temos:
Passo 3
Isso gera o sistema
Passo 4
Da primeira equação vem α=0. Substituindo na segunda, β=0. Logo só a solução trivial existe, provando que u₁ e u₂ são independentes.
Passo 5
Para completar a base, precisamos de um vetor u₃ que não pertença ao span{u₁,u₂}. Uma maneira sistemática é usar o produto vetorial em ℝ³:
Passo 6
Calculando:
Passo 7
Esse vetor u₃=(4,-4,1) é não nulo e ortogonal a u₁ e u₂, logo é linearmente independente dos dois primeiros.
Passo 8
Portanto, a base de ℝ³ obtida completando X é {u₁,u₂,u₃} com u₃=(4,-4,1).
Resposta
Uma escolha é u₃=(4,-4,1). Logo uma base de ℝ³ é {(1,2,4),(0,1,4),(4,-4,1)}.