Complete cada um dos subconjuntos E linearmente independentes abaixo de forma a obter uma base de E=mathscrP^3(R), n=2, u1=-3, u2=1-x^2 :

Passo 1

O enunciado pede para completar o subconjunto linearmente independente X = {u₁,u₂} em E = ℙ³(ℝ), com u₁ = –3 e u₂ = 1 – x², de modo a obter uma base de E. O conteúdo envolvido é teoria de bases, dimensão de espaços vetoriais e extensão de conjuntos linearmente independentes.

Passo 2

Em ℙ³(ℝ) a dimensão é 4, porque um polinômio de grau ≤3 tem 4 coeficientes (monômios 1, x, x² e x³). Para estender um conjunto LI de tamanho 2 a uma base, precisamos de mais 2 vetores que não estejam no span dos já dados.

Passo 3

Como {1,x,x²,x³} é uma base canônica de ℙ³(ℝ) e nossos u₁,u₂ vivem apenas no espaço gerado por 1 e x², escolhemos dois monômios ausentes: u₃ = x e u₄ = x³.

Passo 4

Para ver que {u₁,u₂,u₃,u₄} = {–3,1–x²,x,x³} é linearmente independente, considere a combinação a·(–3) + b·(1–x²) + c·x + d·x³ ≡ 0. Igualando coeficientes de x³,x²,x e constante, obtemos d=0, b=0, c=0 e a=0. Só a solução trivial existe.

Passo 5

Logo temos 4 vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 4, então geram todo ℙ³(ℝ) e formam uma base.

Resposta

Uma base de ℙ³(ℝ) que completa {–3, 1–x²} é {–3, 1–x², x, x³}.

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