Complete cada um dos subconjuntos
linearmente independentes abaixo de forma a obter uma base de
:
Passo 1
O enunciado pede para completar o subconjunto linearmente independente X = {u₁,u₂} em E = ℙ³(ℝ), com u₁ = –3 e u₂ = 1 – x², de modo a obter uma base de E. O conteúdo envolvido é teoria de bases, dimensão de espaços vetoriais e extensão de conjuntos linearmente independentes.
Passo 2
Em ℙ³(ℝ) a dimensão é 4, porque um polinômio de grau ≤3 tem 4 coeficientes (monômios 1, x, x² e x³). Para estender um conjunto LI de tamanho 2 a uma base, precisamos de mais 2 vetores que não estejam no span dos já dados.
Passo 3
Como {1,x,x²,x³} é uma base canônica de ℙ³(ℝ) e nossos u₁,u₂ vivem apenas no espaço gerado por 1 e x², escolhemos dois monômios ausentes: u₃ = x e u₄ = x³.
Passo 4
Para ver que {u₁,u₂,u₃,u₄} = {–3,1–x²,x,x³} é linearmente independente, considere a combinação a·(–3) + b·(1–x²) + c·x + d·x³ ≡ 0. Igualando coeficientes de x³,x²,x e constante, obtemos d=0, b=0, c=0 e a=0. Só a solução trivial existe.
Passo 5
Logo temos 4 vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 4, então geram todo ℙ³(ℝ) e formam uma base.
Resposta
Uma base de ℙ³(ℝ) que completa {–3, 1–x²} é {–3, 1–x², x, x³}.