Em cada uma das matrizes e dados iniciais abaixo, resolver o sistema Y^prime=A Y.
A=[lll1 & 0 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1], Y(0)=[l2 0 1]

Passo 1

Resumindo, queremos resolver o sistema de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes
Y' = A,Y,
com
A = 1 & 0 & 2 [6pt] 0 & 1 & 3 [6pt] 0 & 0 & 1, Y(0)=2[3pt]0[3pt]1
O método que vamos usar é o da exponencial de matriz: escrevemos A=I+N onde I é a identidade e N=A-I é nilpotente, e então calculamos
e^tA=e^t(I+N)=e^t,e^tN ]

Passo 2

Definimos
N = A - I = 0 & 0 & 2 [4pt] 0 & 0 & 3 [4pt] 0 & 0 & 0
Vemos que
N^2 = 0 & 0 & 2 [4pt] 0 & 0 & 3 [4pt] 0 & 0 & 0^2 = 0,
ou seja, N é nilpotente de índice 2.
]

Passo 3

Como N^2=0, a série da exponencial de N para qualquer t para de ser não nula a partir de N^2:
e^tN = I + t,N
Logo
e^tA = e^t,(I + t,N)

Passo 4

Agora aplicamos e^tA ao vetor inicial. Primeiro calculamos
N,Y(0) = 0 & 0 & 2 [4pt] 0 & 0 & 3 [4pt] 0 & 0 & 0 2[3pt]0[3pt]1 = 2[3pt]3[3pt]0
Então
(I + t,N),Y(0) = Y(0) + t,(N,Y(0)) = 201 + t230 = 2+2t3t1
Multiplicando por e^t, obtemos a solução geral:]

Resposta

Y(t) = e^tA,Y(0) = e^t2+2t[3pt]3t[3pt]1 ]

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