Em cada uma das matrizes e dados iniciais abaixo, resolver o sistema Y^prime=A Y.
A=[cc-5 & 3 -15 & 7], Y(0)=[l1 1],

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema de EDOs de coeficientes constantes
Y' = A,Y
com
A = -5 & 3 -15 & 7
e condição inicial
Y(0) = 11
Vamos usar o método de autovalores e autovetores, tratando o caso de autovalores complexos para extrair as soluções reais.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det-5-lambda & 3 -15 & 7-lambda = (lambda+5)(lambda-7) + 45 = lambda^2 - 2lambda + 10
Logo os autovalores são
lambda = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot102 = 1 pm 3i

Passo 3

Para lambda = 1 + 3i resolvemos (A - lambda I)v = 0:
-6 - 3i & 3 -15 & 6 - 3i v = 0 Longrightarrow v = 1 2 + i
Separamos v = p + i,q com
p = 12, q = 01

Passo 4

As duas soluções reais fundamentais são
Y1(t) = e^tl(pcos3t - qsin3tr), Y2(t) = e^tl(psin3t + qcos3tr)
Portanto a solução geral é
Y(t) = C1,Y1(t) + C2,Y2(t)

Passo 5

Impondo Y(0)=11 obtemos
Y(0) = C1 p + C2 q = C12C1 + C2 = 11 Longrightarrow C1 = 1,;2cdot1 + C2 = 1;Rightarrow;C2 = -1

Resposta

Y(t) = e^t cos 3t - sin 3t [6pt] cos 3t - 3 sin 3t ]

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