Em cada uma das matrizes e dados iniciais abaixo, resolver o sistema Y^prime=A Y.
A=[llll1 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 4], Y(0)=[l0 0 1 1],

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema dYdt=AY, onde
A= 1 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 4 , Y(0)=0011
Como A é triangular superior, podemos tratar as componentes em cascata: primeiro as equações desacopladas ( y3,y4) e depois usar essas soluções em y2 e, por fim, em y1.

Passo 2

Para dot y3=3y3 com y3(0)=1 e dot y4=4y4 com y4(0)=1 a solução é direta, pois dot y=lambda y
y3(t)=e^3t, y4(t)=e^4t

Passo 3

A equação para y2 é
dot y2=2y2+y3(t)=2y2+e^3t, y2(0)=0
Usando o fator integrante mu(t)=e^-2t temos
ddtl(e^-2ty2r)=e^-2te^3t=e^t
Integrando de 0 a t e aplicando y2(0)=0,
e^-2ty2=integral0^te^s,ds=e^t-1 ;Longrightarrow; y2(t)=e^2t(e^t-1)=e^3t-e^2t

Passo 4

Finalmente, para y1 temos
dot y1=y1+y2(t), y1(0)=0 ;Longrightarrow; dot y1-y1=e^3t-e^2t
Com o fator integrante mu(t)=e^-t vem
ddtl(e^-ty1r) =e^-t(e^3t-e^2t) =e^2t-e^t
Integrando e impondo y1(0)=0,
e^-ty1=integral0^t(e^2s-e^s),ds =tfrac12(e^2t-1)-(e^t-1) =tfrac12(e^2t-2e^t+1),
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y1(t)=tfrac12e^t(e^t-1)^2 =tfrac12l(e^3t-2e^2t+e^tr)

Resposta

Y(t)= tfrac12l(e^3t-2e^2t+e^tr)[6pt] e^3t-e^2t[4pt] e^3t[4pt] e^4t ]

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