Em cada uma das matrizes, encontre todos os autovalores e autovetores associados:
E=\left[\begin{array}{ll}3 & -2 \\\\ 4 & -1\end{array}\right],

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar todos os autovalores e, para cada autovalor, os autovetores associados da matriz
E=\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt]4 & -1\end{pmatrix}.
Informações dadas (tiradas do enunciado): a matriz E é 2\times2 com entradas E_{11}=3, E_{12}=-2, E_{21}=4, E_{22}=-1.]

Passo 2

O que é um autovalor e um autovetor (explicação passo a passo, sem pular etapas).
  • Um vetor v\neq 0 é autovetor de E associado ao escalar \lambda se
E v = \lambda v.
  • Reescrevendo, isso é
(E-\lambda I)v = 0,
onde I é a matriz identidade 2\times2.
  • Para existir solução não-trivial v\neq0 desse sistema homogêneo, a matriz E-\lambda I deve ser singular, isto é, ter determinante zero:
\det(E-\lambda I)=0.
  • A equação \det(E-\lambda I)=0 é o polinômio característico; as raízes desse polinômio são os autovalores. Depois de achar \lambda, encontra-se v resolvendo (E-\lambda I)v=0.

Passo 3

Calcular o polinômio característico de E.
  • Primeiro escrevemos E-\lambda I:
E-\lambda I=\begin{pmatrix}3-\lambda & -2\\[4pt]4 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
  • O determinante é
\det(E-\lambda I)=(3-\lambda)(-1-\lambda)-(-2)\cdot4.
  • Vamos desenvolver o produto e simplificar passo a passo:
(3-\lambda)(-1-\lambda)=3(-1-\lambda)-\lambda(-1-\lambda)= -3-3\lambda+\lambda+\lambda^2=\lambda^2-2\lambda-3.
  • Somando o termo que vem do -(-2)\cdot4 (que é +8), obtemos
\det(E-\lambda I)=\lambda^2-2\lambda-3+8=\lambda^2-2\lambda+5.
  • Portanto o polinômio característico é
\lambda^2-2\lambda+5.]

Passo 4

Encontrar os autovalores resolvendo \lambda^2-2\lambda+5=0.
  • Aplicamos a fórmula quadrática \lambda=\dfrac{2\pm\sqrt{\Delta}}{2} com discriminante
\Delta = (-2)^2-4\cdot1\cdot5 =4-20=-16.
  • Como \Delta<0, os autovalores serão complexos. Calculando:
\lambda=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i.
  • Logo os autovalores são \lambda_1=1+2i e \lambda_2=1-2i (números complexos conjugados).

Passo 5

Interpretando o resultado antes de achar autovetores: como a matriz tem autovalores complexos não reais, não haverá autovetores reais não nulos; os autovetores pertencem ao espaço \mathbb{C}^2. Ainda assim procedemos exatamente como em casos reais, resolvendo (E-\lambda I)v=0 em \mathbb{C}.

Passo 6

Encontrar um autovetor associado a \lambda_1=1+2i.
  • Formamos E-\lambda_1 I:
E-\lambda_1 I=\begin{pmatrix}3-(1+2i) & -2\\[4pt]4 & -1-(1+2i)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2-2i & -2\\[4pt]4 & -2-2i\end{pmatrix}.
  • Precisamos resolver
\begin{pmatrix}2-2i & -2\\[4pt]4 & -2-2i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Escrevendo as equações (primeira linha e segunda linha):
(2-2i)x-2y=0,
4x+(-2-2i)y=0.
  • Da primeira equação isolamos y:
-2y=-(2-2i)x\quad\Rightarrow\quad y=\frac{2-2i}{2}x=(1-i)x.
  • Podemos escolher x=1 (qualquer múltiplo não nulo dá um autovetor). Assim obtemos
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1-i\end{pmatrix}.
  • (Verificação rápida: calcular E v_1 e comparar com \lambda_1 v_1.)
    Cálculo:
E v_1=\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt]4 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1-i\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3-2(1-i)\\[4pt]4-(1-i)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+2i\\[4pt]3+i\end{pmatrix},
enquanto
\lambda_1 v_1=(1+2i)\begin{pmatrix}1\\[4pt]1-i\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+2i\\[4pt](1+2i)(1-i)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+2i\\[4pt]3+i\end{pmatrix},
logo a igualdade confirma que v_1 é autovetor associado a \lambda_1.]

Passo 7

Encontrar um autovetor associado a \lambda_2=1-2i.
  • Pelo fato dos coeficientes da matriz serem reais, os autovalores complexos vêm em conjugados e os autovetores correspondentes podem ser escolhidos conjugados entre si. Repetindo o procedimento, obtemos a relação y=(1+i)x.
  • Escolhendo x=1 temos
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1+i\end{pmatrix}.
  • Também pode-se verificar que E v_2=\lambda_2 v_2 da mesma forma feita para v_1.]

Resposta

\lambda_1=1+2i,\quad v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1-i\end{pmatrix}
\lambda_2=1-2i,\quad v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1+i\end{pmatrix}]

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