Informações dadas (tiradas do enunciado): a matriz E é 2\times2 com entradas E_{11}=3, E_{12}=-2, E_{21}=4, E_{22}=-1.]
Passo 2
O que é um autovalor e um autovetor (explicação passo a passo, sem pular etapas).
Um vetor v\neq 0 é autovetor de E associado ao escalar \lambda se
E v = \lambda v.
Reescrevendo, isso é
(E-\lambda I)v = 0,
onde I é a matriz identidade 2\times2.
Para existir solução não-trivial v\neq0 desse sistema homogêneo, a matriz E-\lambda I deve ser singular, isto é, ter determinante zero:
\det(E-\lambda I)=0.
A equação \det(E-\lambda I)=0 é o polinômio característico; as raízes desse polinômio são os autovalores. Depois de achar \lambda, encontra-se v resolvendo (E-\lambda I)v=0.
Logo os autovalores são \lambda_1=1+2i e \lambda_2=1-2i (números complexos conjugados).
Passo 5
Interpretando o resultado antes de achar autovetores: como a matriz tem autovalores complexos não reais, não haverá autovetores reais não nulos; os autovetores pertencem ao espaço \mathbb{C}^2. Ainda assim procedemos exatamente como em casos reais, resolvendo (E-\lambda I)v=0 em \mathbb{C}.
Passo 6
Encontrar um autovetor associado a \lambda_1=1+2i.
logo a igualdade confirma que v_1 é autovetor associado a \lambda_1.]
Passo 7
Encontrar um autovetor associado a \lambda_2=1-2i.
Pelo fato dos coeficientes da matriz serem reais, os autovalores complexos vêm em conjugados e os autovetores correspondentes podem ser escolhidos conjugados entre si. Repetindo o procedimento, obtemos a relação y=(1+i)x.
Escolhendo x=1 temos
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1+i\end{pmatrix}.
Também pode-se verificar que E v_2=\lambda_2 v_2 da mesma forma feita para v_1.]