encontremos todos os autovalores e, para cada autovalor, os autovetores associados.
Informações dadas:
A matriz D é 2\times2 com entradas D_{11}=5, D_{12}=-1, D_{21}=3, D_{22}=1.
O objetivo é obter todos os pares (\lambda,v) tais que Dv=\lambda v com v\neq0.]
Passo 2
O que é um autovalor e um autovetor (explicação didática e receita):
Um vetor v\neq0 é autovetor de D associado ao escalar \lambda se ao multiplicarmos D por v obtemos apenas um escalar vezes v, isto é,
Dv=\lambda v.
Reescrevendo, isso equivale a
(D-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Para existir v\neq0 na solução, a matriz D-\lambda I deve ser singular, isto é,
\det(D-\lambda I)=0.
A equação \det(D-\lambda I)=0 dá o polinómio característico; suas raízes são os autovalores \lambda. Depois de achar cada \lambda, encontra-se os autovetores resolvendo o sistema linear homogêneo (D-\lambda I)v=0.
Observação prática: para matrizes 2\times2 a determinante é \det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Formar D-\lambda I e calcular o polinómio característico:
Devemos resolver (D-4I)v=0. Escrevendo v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}, o sistema é
\begin{cases} x - y = 0,\\[4pt] 3x - 3y = 0. \end{cases}
As duas equações são equivalentes; da primeira obtemos x=y\]. Isso significa que os autovetores são todos os múltiplos escalares de
\[\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.\]
Em notação geral: para \(\lambda=4 os autovetores são v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} com t\neq0. (É comum escolher t=1 como uma representante.)]
Resolver (D-2I)v=0 com v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}:
\begin{cases} 3x - y = 0,\\[4pt] 3x - y = 0. \end{cases}
Novamente as equações são equivalentes; da primeira vem y=3x\]. Logo os autovetores são todos os múltiplos escalares de
\[\begin{pmatrix}1\\[4pt] 3\end{pmatrix}.\]
Em notação geral: para \(\lambda=2 os autovetores são v=s\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix} com s\neq0. (Pode-se escolher s=1 como representante.)]
Passo 7
Verificação rápida (confirmação didática):
Para \lambda=4 e v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},
As verificações confirmam que os pares (\lambda,v) encontrados são realmente autovalor/autovetor.]
Passo 8
Observações finais e dica de prova:
Autovetores não são únicos: qualquer múltiplo escalar não-nulo de um autovetor também é autovetor. Por isso escrevemos a família t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} e s\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Em questões de prova, é suficiente dar um representante não-nulo (por exemplo \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}) e indicar que todos os múltiplos também servem.
Se for pedido vetores unitários, normaliza-se dividindo pelo comprimento (norma) de cada vetor; aqui não foi solicitado, então não precisamos normalizar.]