Em cada uma das matrizes, encontre todos os autovalores e autovetores associados:
D=\left[\begin{array}{cc}5 & -1 \\\\ 3 & 1\end{array}\right],

Passo 1

O enunciado pede que, para a matriz
D=\begin{pmatrix}5 & -1\\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix},
encontremos todos os autovalores e, para cada autovalor, os autovetores associados.
Informações dadas:
  • A matriz D é 2\times2 com entradas D_{11}=5, D_{12}=-1, D_{21}=3, D_{22}=1.
  • O objetivo é obter todos os pares (\lambda,v) tais que Dv=\lambda v com v\neq0.]

Passo 2

O que é um autovalor e um autovetor (explicação didática e receita):
  • Um vetor v\neq0 é autovetor de D associado ao escalar \lambda se ao multiplicarmos D por v obtemos apenas um escalar vezes v, isto é,
Dv=\lambda v.
  • Reescrevendo, isso equivale a
(D-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Para existir v\neq0 na solução, a matriz D-\lambda I deve ser singular, isto é,
\det(D-\lambda I)=0.
  • A equação \det(D-\lambda I)=0 dá o polinómio característico; suas raízes são os autovalores \lambda. Depois de achar cada \lambda, encontra-se os autovetores resolvendo o sistema linear homogêneo (D-\lambda I)v=0.
  • Observação prática: para matrizes 2\times2 a determinante é \det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Formar D-\lambda I e calcular o polinómio característico:
D-\lambda I=\begin{pmatrix}5-\lambda & -1\\[4pt] 3 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
O polinómio característico é
\det(D-\lambda I)=(5-\lambda)(1-\lambda)-(-1)\cdot 3.
Agora expandir cuidadosamente:
(5-\lambda)(1-\lambda)=5-6\lambda+\lambda^2,
e como o termo subtraído era -1\cdot3=-3, temos menos esse menos; mas temos o sinal original “-(-1\cdot3)”, portanto somamos 3. Assim:
\det(D-\lambda I)=5-6\lambda+\lambda^2+3=\lambda^2-6\lambda+8.]

Passo 4

Achar os autovalores resolvendo o polinómio característico \lambda^2-6\lambda+8=0.
Calcule o discriminante:
\Delta = (-6)^2-4\cdot1\cdot8=36-32=4.
As raízes são
\lambda=\frac{6\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{6\pm2}{2}.
Portanto:
\lambda_1=\frac{6+2}{2}=4,\qquad \lambda_2=\frac{6-2}{2}=2.
Conclusão: os autovalores são \lambda=4 e \lambda=2.

Passo 5

Encontrar autovetores associados a [\lambda=4).
Formar D-4I:
D-4I=\begin{pmatrix}5-4 & -1\\[4pt] 3 & 1-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 3 & -3\end{pmatrix}.
Devemos resolver (D-4I)v=0. Escrevendo v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}, o sistema é
\begin{cases} x - y = 0,\\[4pt] 3x - 3y = 0. \end{cases}
As duas equações são equivalentes; da primeira obtemos x=y\]. Isso significa que os autovetores são todos os múltiplos escalares de \[\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.\] Em notação geral: para \(\lambda=4 os autovetores são v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} com t\neq0. (É comum escolher t=1 como uma representante.)]

Passo 6

Encontrar autovetores associados a [\lambda=2).
Formar D-2I:
D-2I=\begin{pmatrix}5-2 & -1\\[4pt] 3 & 1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
Resolver (D-2I)v=0 com v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}:
\begin{cases} 3x - y = 0,\\[4pt] 3x - y = 0. \end{cases}
Novamente as equações são equivalentes; da primeira vem y=3x\]. Logo os autovetores são todos os múltiplos escalares de \[\begin{pmatrix}1\\[4pt] 3\end{pmatrix}.\] Em notação geral: para \(\lambda=2 os autovetores são v=s\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix} com s\neq0. (Pode-se escolher s=1 como representante.)]

Passo 7

Verificação rápida (confirmação didática):
  • Para \lambda=4 e v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},
Dv=\begin{pmatrix}5 & -1\\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5-1\\[4pt]3+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]4\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Para \lambda=2 e v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix},
Dv=\begin{pmatrix}5 & -1\\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5-3\\[4pt]3+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]6\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
As verificações confirmam que os pares (\lambda,v) encontrados são realmente autovalor/autovetor.]

Passo 8

Observações finais e dica de prova:
  • Autovetores não são únicos: qualquer múltiplo escalar não-nulo de um autovetor também é autovetor. Por isso escrevemos a família t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} e s\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
  • Em questões de prova, é suficiente dar um representante não-nulo (por exemplo \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}) e indicar que todos os múltiplos também servem.
  • Se for pedido vetores unitários, normaliza-se dividindo pelo comprimento (norma) de cada vetor; aqui não foi solicitado, então não precisamos normalizar.]

Resposta

\lambda=4:\\ v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\\ t\neq0
\lambda=2:\\ v=s\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix},\\ s\neq0]

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