Em cada uma das matrizes, encontre todos os autovalores e autovetores associados: C=\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 4 \\\\ 2 & 0 & 2 \\\\ 4 & 2 & 31\end{array}\right],
O enunciado pede: encontrar todos os autovalores (valores próprios) e, para cada autovalor, encontrar os autovetores associados.
Listando explicitamente as entradas (por referência durante a resolução):
c_{11}=3,\; c_{12}=2,\; c_{13}=4,
c_{21}=2,\; c_{22}=0,\; c_{23}=2,
c_{31}=4,\; c_{32}=2,\; c_{33}=31.]
Passo 2
Conceito e plano de ataque (passo a passo do método que será aplicado).
Definição rápida: um vetor não nulo v é autovetor de C associado ao autovalor \lambda se e somente se
C v = \lambda v,
ou equivalentemente
(C-\lambda I)v=0.
Para encontrar \lambda não-trivialmente, calculamos os valores de \lambda que tornam a matriz C-\lambda I singular, ou seja, os \lambda que satisfazem a equação característica
\det(C-\lambda I)=0.
Depois de achar cada autovalor \lambda, substituímos em (C-\lambda I)v=0 e resolvemos o sistema linear homogêneo para obter os autovetores (até uma constante multiplicativa, pois autovetores podem ser escalados).
Vou aplicar exatamente esse plano.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(C-\lambda I).
A equação característica \det(C-\lambda I)=0 é então
\lambda^3 -34\lambda^2 +69\lambda +104 = 0.]
Passo 4
Fatorar o polinômio cúbico para achar as raízes exatas.
Pela Regra das Raízes Racionais, possíveis raízes inteiras divisoras de 104 são \pm 1,\pm 2,\pm4,\pm8,\pm13,\pm26,\ldots. Testamos alguns valores rapidamente.
Dividindo o polinômio por (\lambda+1) (divisão sintética ou algébrica) obtemos o quociente quadrático:
coeficientes: 1,\,-34,\;69,\;104. Dividindo por -1 (raiz -1) dá o quociente
Para ter uma intuição numérica rápida (checagem): \sqrt{809}\approx 28{,}442, então \lambda_2\approx 31{,}721 e \lambda_3\approx 3{,}279. (Estas aproximações servem só para conferência.)
Qualquer múltiplo escalar de v^{(1)} é um autovetor associado a \lambda_1=-1.]
Passo 6
Encontrar os autovetores para [\lambda_2=\dfrac{35+\sqrt{809}}{2}) e \lambda_3=\dfrac{35-\sqrt{809}}{2}.
Método: resolvo (C-\lambda I)v=0 de forma simbólica em função de \lambda e, em seguida, substituo os valores das raízes. Isso evita fazer duas reduções independentes e permite simplificações usando a relação que \lambda satisfaz (a equação quadrática).
Agora, para as \lambda que são raízes da quadrática \lambda^2 -35\lambda +104 = 0, temos \lambda^2 = 35\lambda -104. Substituindo \lambda^2 nesta expressão:
Em princípio essa expressão depende de \lambda, mas ao substituir os valores concretos de \lambda (que satisfazem a quadrática), algumas simplificações adicionais ocorrem.
Agora substituo \lambda=\dfrac{35\pm s}{2} com s=\sqrt{809}. Vou calcular y e z em termos de x e s.
Calcule primeiro \lambda(1+\lambda). Para \lambda=\dfrac{35\pm s}{2} e 1+\lambda=\dfrac{37\pm s}{2},
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 37\mp s e simplificando (ou fazendo a manipulação direta), obtém-se a forma mais simpática:
z = x\cdot\frac{27 \pm s}{8}.
(Aqui o cálculo algébrico detalhado leva à fatoração 189+7s=7(27+s) etc., que resulta na forma acima; a passagem completa é uma simplificação algébrica padrão.)
Portanto, para ambas as raízes da quadrática obtemos (em termos de x):
(Qualquer múltiplo escalar desses vetores também é autovetor, mas escolhi essa normalização por simplicidade aritmética.)]
Passo 7
Checagem rápida (consistência)
Para \lambda_1=-1 checamos: C\,[1,-2,0]^T = [-1,2,0]^T = -1\cdot[1,-2,0]^T. OK.
Para \lambda_2 e \lambda_3 uma checagem numérica rápida com aproximações confirma igualmente C v^{(i)} \approx \lambda_i v^{(i)}. (Usei isso como verificação; os cálculos algébricos anteriores já provaram as equalidades exatas.)