Em cada uma das matrizes, encontre todos os autovalores e autovetores associados:
C=\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 4 \\\\ 2 & 0 & 2 \\\\ 4 & 2 & 31\end{array}\right],

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Foi dada a matriz
C=\begin{pmatrix}3 & 2 & 4\\[4pt]2 & 0 & 2\\[4pt]4 & 2 & 31\end{pmatrix}.
  • O enunciado pede: encontrar todos os autovalores (valores próprios) e, para cada autovalor, encontrar os autovetores associados.
Listando explicitamente as entradas (por referência durante a resolução):
  • c_{11}=3,\; c_{12}=2,\; c_{13}=4,
  • c_{21}=2,\; c_{22}=0,\; c_{23}=2,
  • c_{31}=4,\; c_{32}=2,\; c_{33}=31.]

Passo 2

Conceito e plano de ataque (passo a passo do método que será aplicado).
  • Definição rápida: um vetor não nulo v é autovetor de C associado ao autovalor \lambda se e somente se
C v = \lambda v,
ou equivalentemente
(C-\lambda I)v=0.
  • Para encontrar \lambda não-trivialmente, calculamos os valores de \lambda que tornam a matriz C-\lambda I singular, ou seja, os \lambda que satisfazem a equação característica
\det(C-\lambda I)=0.
  • Depois de achar cada autovalor \lambda, substituímos em (C-\lambda I)v=0 e resolvemos o sistema linear homogêneo para obter os autovetores (até uma constante multiplicativa, pois autovetores podem ser escalados).
Vou aplicar exatamente esse plano.

Passo 3

Calcular o polinômio característico \det(C-\lambda I).
Escrevendo C-\lambda I:
C-\lambda I=\begin{pmatrix}3-\lambda & 2 & 4\\[4pt]2 & -\lambda & 2\\[4pt]4 & 2 & 31-\lambda\end{pmatrix}.
Calculamos o determinante por expansão (regra de Sarrus ou desenvolvimento por co-fatores). Aqui uso desenvolvimento pela primeira linha:
\det(C-\lambda I)=(3-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & 2\\[4pt]2 & 31-\lambda\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]4 & 31-\lambda\end{pmatrix} +4\det\begin{pmatrix}2 & -\lambda\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix}.
Agora calculo cada menor:
\det\begin{pmatrix}-\lambda & 2\\[4pt]2 & 31-\lambda\end{pmatrix} = -\lambda(31-\lambda) - 4 = \lambda^2 -31\lambda -4,
\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]4 & 31-\lambda\end{pmatrix} = 2(31-\lambda) - 8 = 62 -2\lambda -8 = 54 -2\lambda,
\det\begin{pmatrix}2 & -\lambda\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix} = 2\cdot 2 - (-\lambda)\cdot 4 = 4 +4\lambda.
Substituindo:
\det(C-\lambda I)=(3-\lambda)(\lambda^2-31\lambda-4) -2(54-2\lambda) +4(4+4\lambda).
Simplifico os termos constantes:
-2(54-2\lambda) = -108 +4\lambda,\qquad 4(4+4\lambda)=16+16\lambda.
Somando esses dois: -108+4\lambda+16+16\lambda = -92 +20\lambda.
Agora expandindo o primeiro produto:
(3-\lambda)(\lambda^2-31\lambda-4)=3\lambda^2 -93\lambda -12 -\lambda^3 +31\lambda^2 +4\lambda = -\lambda^3 +34\lambda^2 -89\lambda -12.
Somando o restante:
\det(C-\lambda I)= -\lambda^3 +34\lambda^2 -89\lambda -12 -92 +20\lambda = -\lambda^3 +34\lambda^2 -69\lambda -104.
Multiplicando por -1 (para ficar mais comum, com coeficiente líder positivo):
\det(C-\lambda I)= -\bigl(\lambda^3 -34\lambda^2 +69\lambda +104\bigr).
A equação característica \det(C-\lambda I)=0 é então
\lambda^3 -34\lambda^2 +69\lambda +104 = 0.]

Passo 4

Fatorar o polinômio cúbico para achar as raízes exatas.
  • Pela Regra das Raízes Racionais, possíveis raízes inteiras divisoras de 104 são \pm 1,\pm 2,\pm4,\pm8,\pm13,\pm26,\ldots. Testamos alguns valores rapidamente.
  • Testando \lambda=-1:
(-1)^3 -34(-1)^2 +69(-1) +104 = -1 -34 -69 +104 = 0,
logo \lambda=-1 é raíz do polinômio.
  • Dividindo o polinômio por (\lambda+1) (divisão sintética ou algébrica) obtemos o quociente quadrático:
    coeficientes: 1,\,-34,\;69,\;104. Dividindo por -1 (raiz -1) dá o quociente
\lambda^2 -35\lambda +104.
  • Agora resolvemos a equação quadrática
\lambda^2 -35\lambda +104 = 0
pelo discriminante:
\Delta = 35^2 -4\cdot 104 = 1225 -416 = 809.
Portanto as raízes são
\lambda = \frac{35 \pm \sqrt{809}}{2}.
Resumo das três raízes (autovalores):
\lambda_1 = -1,\qquad \lambda_2 = \frac{35 + \sqrt{809}}{2},\qquad \lambda_3 = \frac{35 - \sqrt{809}}{2}.
Para ter uma intuição numérica rápida (checagem): \sqrt{809}\approx 28{,}442, então \lambda_2\approx 31{,}721 e \lambda_3\approx 3{,}279. (Estas aproximações servem só para conferência.)

Passo 5

Encontrar os autovetores para [\lambda_1=-1).
  • Substituo \lambda=-1 em C-\lambda I = C+I:
C+I=\begin{pmatrix}4 & 2 & 4\\[4pt]2 & 1 & 2\\[4pt]4 & 2 & 32\end{pmatrix}.
Devemos resolver (C+I)v=0, isto é o sistema linear
\begin{cases} 4x + 2y + 4z = 0,\\[4pt] 2x + 1y + 2z = 0,\\[4pt] 4x + 2y +32z = 0. \end{cases}
  • Observação: a segunda equação é exatamente metade da primeira, então não dá informação nova. Subtraindo a primeira equação da terceira:
(4x+2y+32z) - (4x+2y+4z) = 28z = 0 \quad\Rightarrow\quad z=0.
  • Com z=0\], a segunda equação dá \(2x + y = 0, logo y=-2x.
  • Assim os vetores solução são todos múltiplos de
v^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Qualquer múltiplo escalar de v^{(1)} é um autovetor associado a \lambda_1=-1.]

Passo 6

Encontrar os autovetores para [\lambda_2=\dfrac{35+\sqrt{809}}{2}) e \lambda_3=\dfrac{35-\sqrt{809}}{2}.
Método: resolvo (C-\lambda I)v=0 de forma simbólica em função de \lambda e, em seguida, substituo os valores das raízes. Isso evita fazer duas reduções independentes e permite simplificações usando a relação que \lambda satisfaz (a equação quadrática).
Escrevendo as equações gerais (com v=(x,y,z)^T):
\begin{cases} (3-\lambda)x + 2y + 4z = 0,\\[4pt] 2x - \lambda y + 2z = 0,\\[4pt] 4x + 2y + (31-\lambda)z = 0. \end{cases}
Da segunda equação, isolamos y\] (note que para as raízes encontradas \(\lambda\neq 0):
2x -\lambda y + 2z = 0 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{2x+2z}{\lambda} = \frac{2(x+z)}{\lambda}.
Substituímos esse y na primeira equação. Multiplicando a primeira equação por \lambda para eliminar denominador,
\lambda(3-\lambda)x + 4(x+z) + 4\lambda z = 0.
Organizando termos em x e z:
x\bigl(3\lambda - \lambda^2 +4\bigr) + z\bigl(4+4\lambda\bigr) = 0.
Agora, para as \lambda que são raízes da quadrática \lambda^2 -35\lambda +104 = 0, temos \lambda^2 = 35\lambda -104. Substituindo \lambda^2 nesta expressão:
3\lambda - \lambda^2 +4 = 3\lambda - (35\lambda -104) +4 = 108 - 32\lambda.
Assim a relação fica
x(108 - 32\lambda) + z(4+4\lambda) = 0.
Isolando z em função de x:
z = x\cdot \frac{32\lambda -108}{4(1+\lambda)} = x\cdot \frac{8\lambda -27}{1+\lambda}.
Agora substituímos esse z no y já obtido:
y = \frac{2(x+z)}{\lambda} = \frac{2x}{\lambda}\left(1 + \frac{8\lambda -27}{1+\lambda}\right) = \frac{2x}{\lambda}\cdot\frac{(1+\lambda) + (8\lambda -27)}{1+\lambda} = \frac{2x}{\lambda}\cdot\frac{9\lambda -26}{1+\lambda}.
Em princípio essa expressão depende de \lambda, mas ao substituir os valores concretos de \lambda (que satisfazem a quadrática), algumas simplificações adicionais ocorrem.
Agora substituo \lambda=\dfrac{35\pm s}{2} com s=\sqrt{809}. Vou calcular y e z em termos de x e s.
Calcule primeiro \lambda(1+\lambda). Para \lambda=\dfrac{35\pm s}{2} e 1+\lambda=\dfrac{37\pm s}{2},
\lambda(1+\lambda)=\frac{(35\pm s)(37\pm s)}{4} = \frac{2104 \pm 72s}{4} = 526 \pm 18s.
Calcule 9\lambda-26:
9\lambda-26 = 9\cdot\frac{35\pm s}{2} -26 = \frac{315 \pm 9s -52}{2} = \frac{263 \pm 9s}{2}.
Portanto
y = \frac{2x}{\lambda}\cdot\frac{9\lambda-26}{1+\lambda} = 2x\cdot\frac{(263 \pm 9s)/2}{\lambda(1+\lambda)} = x\cdot\frac{263 \pm 9s}{526 \pm 18s}.
Observe que 526 \pm 18s = 2(263 \pm 9s). Logo ocorre uma simplificação imediata:
y = x\cdot\frac{263 \pm 9s}{2(263 \pm 9s)} = \frac{x}{2}.
Ou seja, para ambas as raízes da quadrática sempre vale y=\dfrac{x}{2}. (Boa notícia: a expressão se simplificou bastante.)
Agora foquemos em z:
z = x\cdot\frac{8\lambda -27}{1+\lambda}.
Calcule 8\lambda -27 para \lambda=\dfrac{35\pm s}{2}:
8\lambda -27 = 8\cdot\frac{35\pm s}{2} -27 = 4(35\pm s) -27 = 140 \pm 4s -27 = 113 \pm 4s.
E 1+\lambda = \dfrac{37\pm s}{2}. Assim
z = x\cdot\frac{113 \pm 4s}{(37\pm s)/2} = x\cdot\frac{2(113 \pm 4s)}{37\pm s}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 37\mp s e simplificando (ou fazendo a manipulação direta), obtém-se a forma mais simpática:
z = x\cdot\frac{27 \pm s}{8}.
(Aqui o cálculo algébrico detalhado leva à fatoração 189+7s=7(27+s) etc., que resulta na forma acima; a passagem completa é uma simplificação algébrica padrão.)
Portanto, para ambas as raízes da quadrática obtemos (em termos de x):
y=\frac{x}{2},\qquad z=\frac{x(27\pm \sqrt{809})}{8},
onde o sinal + corresponde a \lambda_2=\dfrac{35+\sqrt{809}}{2} e o sinal - corresponde a \lambda_3=\dfrac{35-\sqrt{809}}{2}.
Escolhendo x=8 para eliminar denominadores e obter vetores com entradas inteiras/mais simples, obtemos autovetores convenientes:
  • Para \lambda_2=\dfrac{35+\sqrt{809}}{2}:
v^{(2)}=\begin{pmatrix}8\\[4pt]4\\[4pt]27+\sqrt{809}\end{pmatrix}.
  • Para \lambda_3=\dfrac{35-\sqrt{809}}{2}:
v^{(3)}=\begin{pmatrix}8\\[4pt]4\\[4pt]27-\sqrt{809}\end{pmatrix}.
(Qualquer múltiplo escalar desses vetores também é autovetor, mas escolhi essa normalização por simplicidade aritmética.)]

Passo 7

Checagem rápida (consistência)
  • Para \lambda_1=-1 checamos: C\,[1,-2,0]^T = [-1,2,0]^T = -1\cdot[1,-2,0]^T. OK.
  • Para \lambda_2 e \lambda_3 uma checagem numérica rápida com aproximações confirma igualmente C v^{(i)} \approx \lambda_i v^{(i)}. (Usei isso como verificação; os cálculos algébricos anteriores já provaram as equalidades exatas.)

Resposta

\lambda_1 = -1,\quad v^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]0\end{pmatrix}
\lambda_2 = \dfrac{35 + \sqrt{809}}{2},\quad v^{(2)} = \begin{pmatrix}8\\[4pt]4\\[4pt]27 + \sqrt{809}\end{pmatrix}
\lambda_3 = \dfrac{35 - \sqrt{809}}{2},\quad v^{(3)} = \begin{pmatrix}8\\[4pt]4\\[4pt]27 - \sqrt{809}\end{pmatrix}]

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