Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) (c), (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(a) \left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\\\ 4 & 1\end{array}\right)
(b) \left(\begin{array}{ll}6 & -4 \\\\ 3 & -1\end{array}\right)
(c) \left(\begin{array}{rr}3 & -1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right)
(g) \left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)
(h) \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & 5 & -1\end{array}\right)
(k) \left(\begin{array}{cccc}2 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right)
(d) \left(\begin{array}{rr}3 & -8 \\\\ 2 & 3\end{array}\right)
(e) \left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ -2 & 3\end{array}\right)
(f) \left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)
(i) \left(\begin{array}{rrr}4 & -5 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & -1\end{array}\right)
(j) \left(\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & -1\end{array}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede (peguei as matrizes do enunciado): para cada uma das matrizes dos itens (a),(b),\text{(c)},(g),(h),(k) deve-se determinar:
I. Os autovalores e seus autoespaços (espaços próprios);
II. Exibir um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da inversa da matriz (quando invertível);
IV. Os autovalores da quarta potência da matriz;
V. O determinante usando autovalores;
VI. O traço usando autovalores.
As matrizes dadas são:
(a) \displaystyle A_a=\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix}
(b) \displaystyle A_b=\begin{pmatrix}6 & -4\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix}
(c) \displaystyle A_c=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}
(g) \displaystyle A_g=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt]0 & 2 & 1\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}
(h) \displaystyle A_h=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\[4pt]0 & 3 & 1\\[4pt]0 & 5 & -1\end{pmatrix}
(k) \displaystyle A_k=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 2 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 3 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0 & 4\end{pmatrix}]

Passo 2

Método e conceitos usados (aula rápida e prática, sem pular etapas):
  1. Definição básica: um vetor não-nulo v é autovetor de uma matriz A se existe um escalar \lambda tal que
A v = \lambda v.
Esse escalar \lambda é chamado autovalor. O conjunto de todos os vetores v que satisfazem (A-\lambda I)v=0 (mais o vetor zero) é o autoespaço associado a \lambda.
  1. Como achar autovalores: resolver o polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0.
Esse determinante dá um polinômio em \lambda. As raízes (contando multiplicidade algébrica) são os autovalores.
  1. Como achar autoespaços (autovetores): para cada autovalor \lambda calcular o núcleo (nullspace) de A-\lambda I, isto é resolver (A-\lambda I)v=0. As soluções não nulas são os autovetores; uma base do núcleo é uma base do autoespaço.
  2. Propriedades úteis (que usarei repetidamente):
  • Se A é triangular (superior ou inferior), seus autovalores são exatamente as entradas da diagonal.
  • Se \lambda é autovalor de A e A é invertível, então 1/\lambda é autovalor de A^{-1}.
  • Para qualquer inteiro m\ge1, os autovalores de A^{m} são \lambda^{m} (cada autovalor elevado à potência m).
  • O determinante de A é o produto das suas autovalores (contando multiplicidades algébricas).
  • O traço de A (soma das entradas da diagonal) é a soma das autovalores (contando multiplicidades algébricas).
  1. Estratégia prática: para matrizes 2\times2 faço o polinômio característico via fórmula \lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A. Para matrizes triangulares uso as entradas da diagonal. Para cada autovalor resolvo o sistema linear correspondente para achar o autoespaço e um autovetor explícito.
Agora aplico esses passos a cada matriz.

Passo 3

Matriz \displaystyle A_a=\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix}.
  1. Traço e determinante (úteis para o polinômio):
    \displaystyle \operatorname{tr}(A_a)=3+1=4,
    \displaystyle \det(A_a)=3\cdot1-2\cdot4=3-8=-5.
  2. Polinômio característico (para 2\times2):
\lambda^2-(\operatorname{tr}A_a)\lambda+\det(A_a)=\lambda^2-4\lambda-5.
Fatorando:
\lambda^2-4\lambda-5=(\lambda-5)(\lambda+1).
Logo autovalores: \lambda_1=5 e \lambda_2=-1.
  1. Autoespaços
  • Para \lambda=5: calcule A_a-5I=\begin{pmatrix}-2 & 2\\[4pt]4 & -4\end{pmatrix}. Resolver (A_a-5I)v=0:
    -2x+2y=0 \Rightarrow x=y. Um autovetor: v_1=(1,1)^T. O autoespaço é \operatorname{span}\{(1,1)^T\}.
  • Para \lambda=-1: A_a+I=\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix}. Resolver 4x+2y=0 \Rightarrow y=-2x. Um autovetor: v_2=(1,-2)^T. Autoespaço \operatorname{span}\{(1,-2)^T\}.
  1. Autovalores de A_a^{-1}: reciprocais (matriz é invertível porque \det\neq0):
    \displaystyle \frac{1}{5} e \displaystyle -1.
  2. Autovalores de A_a^{4}: elevar cada autovalor à quarta potência:
    \displaystyle 5^{4}=625 e \displaystyle (-1)^{4}=1.
  3. Determinante por autovalores: produto 5\cdot(-1)=-5 (confere com cálculo direto).
  4. Traço por autovalores: soma 5+(-1)=4 (confere).]

Passo 4

Matriz \displaystyle A_b=\begin{pmatrix}6 & -4\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix}.
  1. Traço e determinante:
    \displaystyle \operatorname{tr}(A_b)=6+(-1)=5,
    \displaystyle \det(A_b)=6\cdot(-1)-(-4)\cdot3=-6+12=6.
  2. Polinômio característico:
\lambda^2-5\lambda+6=(\lambda-2)(\lambda-3).
Autovalores: \lambda_1=2,\\ \lambda_2=3.
  1. Autoespaços e autovetores
  • \lambda=2: A_b-2I=\begin{pmatrix}4 & -4\\[4pt]3 & -3\end{pmatrix}. Equação 4x-4y=0\Rightarrow x=y. Autovetor: v_1=(1,1)^T. Espaço próprio \operatorname{span}\{(1,1)^T\}.
  • \lambda=3: A_b-3I=\begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt]3 & -4\end{pmatrix}. Equação 3x-4y=0\Rightarrow y=\tfrac{3}{4}x. Escolher x=4 dá autovetor v_2=(4,3)^T. Espaço próprio \operatorname{span}\{(4,3)^T\}.
  1. Autovalores de A_b^{-1}: \tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{3}.
  2. Autovalores de A_b^{4}: 2^{4}=16 e 3^{4}=81.
  3. Determinante: 2\cdot3=6.
  4. Traço: 2+3=5.]

Passo 5

Matriz \displaystyle A_c=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
  1. Traço e determinante:
    \displaystyle \operatorname{tr}(A_c)=3+1=4,
    \displaystyle \det(A_c)=3\cdot1-(-1)\cdot1=3+1=4.
  2. Polinômio característico:
\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2.
Autovalor único \lambda=2 com multiplicidade algébrica 2.
  1. Autoespaço (atenção: possivelmente defeituoso)
Calcular A_c-2I=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}. Resolver x-y=0\Rightarrow x=y. O sistema dá dimensão 1 do núcleo, portanto o autoespaço associado a \lambda=2 é \operatorname{span}\{(1,1)^T\}. Observação: aqui a multiplicidade geométrica é 1 < multiplicidade algébrica 2, logo A_c não é diagonalizável.
Um autovetor (qualquer um não-nulo do autoespaço): v=(1,1)^T.
  1. Autovalores de A_c^{-1}: como A_c é invertível ( \det=4\neq0), o único autovalor de A_c é 2 (dupla), logo os autovalores de A_c^{-1} são \tfrac{1}{2} com multiplicidade algébrica 2.
  2. Autovalores de A_c^{4}: \;2^{4}=16 (com multiplicidade 2).
  3. Determinante: produto dos autovalores 2\cdot2=4.
  4. Traço: soma dos autovalores 2+2=4.]

Passo 6

Matriz triangular superior
\displaystyle A_g=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt]0 & 2 & 1\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
  1. Como A_g é triangular superior, seus autovalores são as entradas da diagonal:
    \lambda_1=1,\\ \lambda_2=2,\\ \lambda_3=1. Observe que \lambda=1 aparece com multiplicidade algébrica 2.
  2. Autoespaços
  • Para \lambda=1: calcular A_g-I=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}. Resolver (A_g-I)v=0. Isso dá a equação x_2+x_3=0 e nenhuma condição sobre x_1. Logo x_1 é livre e x_3=-x_2. O autoespaço é bidimensional:
    \operatorname{span}\{(1,0,0)^T,\\ (0,1,-1)^T\}.
  • Para \lambda=2: A_g-2I=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\[4pt]0 & 0 & 1\\[4pt]0 & 0 & -1\end{pmatrix}. Das equações vem x_3=0 e -x_1+x_2+x_3=0\Rightarrow -x_1+x_2=0. Logo x_1=x_2 e x_3=0. Um autovetor: (1,1,0)^T. Autoespaço \operatorname{span}\{(1,1,0)^T\}.
  1. Autovetores (um por autovalor escolhido):
  • Para \lambda=1: posso escolher v_{1a}=(1,0,0)^T (ou v_{1b}=(0,1,-1)^T).
  • Para \lambda=2: escolher v_2=(1,1,0)^T.
  1. Autovalores de A_g^{-1}: reciprocais \;1,\\ \tfrac{1}{2},\\\ 1 (1 aparece duas vezes).
  2. Autovalores de A_g^{4}: 1^{4}=1,\\\ 2^{4}=16,\\\ 1^{4}=1.
  3. Determinante: produto 1\cdot2\cdot1=2.
  4. Traço: soma 1+2+1=4.]

Passo 7

Matriz \displaystyle A_h=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\[4pt]0 & 3 & 1\\[4pt]0 & 5 & -1\end{pmatrix}.
  1. Observação prática: a primeira coluna tem zeros abaixo do elemento superior, então o determinante de A_h-\lambda I pode ser calculado por expansão pela primeira coluna:
\det(A_h-\lambda I)=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}3-\lambda & 1\\[4pt]5 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
  1. Calcular a menor:
(3-\lambda)(-1-\lambda)-1\cdot5 = (\!-3-2\lambda+\lambda^2)-5=\lambda^2-2\lambda-8.
  1. Então o polinômio característico é
(1-\lambda)(\lambda^2-2\lambda-8)=(1-\lambda)(\lambda-4)(\lambda+2).
Autovalores: \lambda=1,\\ \lambda=4,\\ \lambda=-2 (todos simples).
  1. Autoespaços e autovetores
  • \lambda=1: A_h-I=\begin{pmatrix}0 & 2 & 1\\[4pt]0 & 2 & 1\\[4pt]0 & 5 & -2\end{pmatrix}. As duas primeiras linhas repetem 2x_2+x_3=0. Da terceira: 5x_2-2x_3=0. Substituindo x_3=-2x_2 na terceira dá 5x_2-2(-2x_2)=5x_2+4x_2=9x_2=0\Rightarrow x_2=0\Rightarrow x_3=0. Assim apenas x_1 livre. Autoespaço \operatorname{span}\{(1,0,0)^T\}. Autovetor: v_1=(1,0,0)^T.
  • \lambda=4: A_h-4I=\begin{pmatrix}-3 & 2 & 1\\[4pt]0 & -1 & 1\\[4pt]0 & 5 & -5\end{pmatrix}. Da segunda linha: -x_2+x_3=0\Rightarrow x_3=x_2. A terceira é redundante (5x_2-5x_3=0). Primeira linha: -3x_1+2x_2+x_3=0\Rightarrow -3x_1+3x_2=0\Rightarrow x_1=x_2. Logo vetores da forma (t,t,t). Um autovetor: v_4=(1,1,1)^T.
  • \lambda=-2: A_h+2I=\begin{pmatrix}3 & 2 & 1\\[4pt]0 & 5 & 1\\[4pt]0 & 5 & 1\end{pmatrix}. Da segunda/terceira linha: 5x_2+x_3=0\Rightarrow x_3=-5x_2. Primeira linha: 3x_1+2x_2+x_3=0\Rightarrow 3x_1+2x_2-5x_2=3x_1-3x_2=0\Rightarrow x_1=x_2. Então autovetores da forma (t,t,-5t). Um autovetor: v_{-2}=(1,1,-5)^T.
  1. Autovalores de A_h^{-1}: reciprocais \;1,\\ \tfrac{1}{4},\\\ -\tfrac{1}{2}.
  2. Autovalores de A_h^{4}: 1^{4}=1,\\\ 4^{4}=256,\\ (-2)^{4}=16.
  3. Determinante: produto 1\cdot4\cdot(-2)=-8.
  4. Traço: soma 1+4+(-2)=3. (Confere diretamente \operatorname{tr}(A_h)=1+3+(-1)=3.)]

Passo 8

Matriz diagonal \displaystyle A_k=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 2 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 3 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0 & 4\end{pmatrix}.
  1. Para matriz diagonal, cada entrada diagonal é um autovalor com multiplicidade igual à repetição na diagonal. Assim os autovalores são:
    \;2 (com multiplicidade algébrica 2), \;3, \;4.
  2. Autoespaços e autovetores
  • Para \lambda=2: autoespaço é o subespaço gerado pelos vetores padrão correspondentes às posições 1 e 2: \operatorname{span}\{(1,0,0,0)^T,\\ (0,1,0,0)^T\}. Um autovetor exemplificativo: (1,0,0,0)^T.
  • Para \lambda=3: autoespaço \operatorname{span}\{(0,0,1,0)^T\}. Autovetor: (0,0,1,0)^T.
  • Para \lambda=4: autoespaço \operatorname{span}\{(0,0,0,1)^T\}. Autovetor: (0,0,0,1)^T.
  1. Autovalores de A_k^{-1} (matriz invertível): reciprocais
    \;\tfrac{1}{2},\\ \tfrac{1}{2},\\ \tfrac{1}{3},\\ \tfrac{1}{4}.
  2. Autovalores de A_k^{4}: elevar cada diagonal à quarta potência:
    \;2^{4}=16 (duas vezes), \;3^{4}=81, \;4^{4}=256.
  3. Determinante: produto 2\cdot2\cdot3\cdot4=48.
  4. Traço: soma 2+2+3+4=11.]

Resposta

(a) I. Autovalores \;5,\\\ -1. Autoespaços \;\operatorname{span}\{(1,1)^T\} para \lambda=5 e \operatorname{span}\{(1,-2)^T\} para \lambda=-1.
II. Autovetores: para \lambda=5 tomar (1,1)^T; para \lambda=-1 tomar (1,-2)^T.
III. Autovalores de A_a^{-1}: \tfrac{1}{5},\\\ -1.
IV. Autovalores de A_a^{4}: 625,\\\ 1.
V. Determinante: -5.
VI. Traço: 4.
(b) I. Autovalores \;2,\\\ 3. Autoespaços \;\operatorname{span}\{(1,1)^T\} para \lambda=2 e \operatorname{span}\{(4,3)^T\} para \lambda=3.
II. Autovetores: (1,1)^T e (4,3)^T.
III. Autovalores de A_b^{-1}: \tfrac{1}{2},\\ \tfrac{1}{3}.
IV. Autovalores de A_b^{4}: 16,\\\ 81.
V. Determinante: 6.
VI. Traço: 5.
(c) I. Autovalor único \;2 (multiplicidade algébrica 2). Autoespaço \operatorname{span}\{(1,1)^T\} (dimensão geométrica 1).
II. Autovetor: (1,1)^T.
III. Autovalores de A_c^{-1}: \tfrac{1}{2} (duas vezes).
IV. Autovalores de A_c^{4}: 16 (duas vezes).
V. Determinante: 4.
VI. Traço: 4.
(g) I. Autovalores \;1 (multiplicidade algébrica 2), \;2. Autoespaços: para \lambda=1, \operatorname{span}\{(1,0,0)^T,\\ (0,1,-1)^T\}; para \lambda=2, \operatorname{span}\{(1,1,0)^T\}.
II. Autovetores: por exemplo (1,0,0)^T para \lambda=1 e (1,1,0)^T para \lambda=2.
III. Autovalores de A_g^{-1}: 1,\\ \tfrac{1}{2},\\\ 1.
IV. Autovalores de A_g^{4}: 1,\\\ 16,\\\ 1.
V. Determinante: 2.
VI. Traço: 4.
(h) I. Autovalores \;1,\\\ 4,\\\ -2. Autoespaços: para \lambda=1, \operatorname{span}\{(1,0,0)^T\}; para \lambda=4, \operatorname{span}\{(1,1,1)^T\}; para \lambda=-2, \operatorname{span}\{(1,1,-5)^T\}.
II. Autovetores: (1,0,0)^T,\\ (1,1,1)^T,\\ (1,1,-5)^T respectivamente.
III. Autovalores de A_h^{-1}: 1,\\ \tfrac{1}{4},\\\ -\tfrac{1}{2}.
IV. Autovalores de A_h^{4}: 1,\\\ 256,\\\ 16.
V. Determinante: -8.
VI. Traço: 3.
(k) I. Autovalores \;2 (duas vezes), \;3,\\\ 4. Autoespaços: para \lambda=2, \operatorname{span}\{(1,0,0,0)^T,\\ (0,1,0,0)^T\}; para \lambda=3, \operatorname{span}\{(0,0,1,0)^T\}; para \lambda=4, \operatorname{span}\{(0,0,0,1)^T\}.
II. Autovetores: (1,0,0,0)^T,\\ (0,0,1,0)^T,\\ (0,0,0,1)^T (um por valor, e mais um para \lambda=2 se quiser).
III. Autovalores de A_k^{-1}: \tfrac{1}{2},\\ \tfrac{1}{2},\\ \tfrac{1}{3},\\ \tfrac{1}{4}.
IV. Autovalores de A_k^{4}: 16,\\\ 16,\\\ 81,\\\ 256.
V. Determinante: 48.
VI. Traço: 11.

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