Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) (c), (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(a) \left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\\\ 4 & 1\end{array}\right)
(b) \left(\begin{array}{ll}6 & -4 \\\\ 3 & -1\end{array}\right)
(c) \left(\begin{array}{rr}3 & -1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right)
(g) \left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)
(h) \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & 5 & -1\end{array}\right)
(k) \left(\begin{array}{cccc}2 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right)
(d) \left(\begin{array}{rr}3 & -8 \\\\ 2 & 3\end{array}\right)
(e) \left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ -2 & 3\end{array}\right)
(f) \left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)
(i) \left(\begin{array}{rrr}4 & -5 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & -1\end{array}\right)
(j) \left(\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & -1\end{array}\right)
Passo 1
O que o enunciado pede (peguei as matrizes do enunciado): para cada uma das matrizes dos itens (a),(b),\text{(c)},(g),(h),(k) deve-se determinar:
I. Os autovalores e seus autoespaços (espaços próprios);
II. Exibir um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da inversa da matriz (quando invertível);
IV. Os autovalores da quarta potência da matriz;
V. O determinante usando autovalores;
VI. O traço usando autovalores.
Método e conceitos usados (aula rápida e prática, sem pular etapas):
Definição básica: um vetor não-nulo v é autovetor de uma matriz A se existe um escalar \lambda tal que
A v = \lambda v.
Esse escalar \lambda é chamado autovalor. O conjunto de todos os vetores v que satisfazem (A-\lambda I)v=0 (mais o vetor zero) é o autoespaço associado a \lambda.
Como achar autovalores: resolver o polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0.
Esse determinante dá um polinômio em \lambda. As raízes (contando multiplicidade algébrica) são os autovalores.
Como achar autoespaços (autovetores): para cada autovalor \lambda calcular o núcleo (nullspace) de A-\lambda I, isto é resolver (A-\lambda I)v=0. As soluções não nulas são os autovetores; uma base do núcleo é uma base do autoespaço.
Propriedades úteis (que usarei repetidamente):
Se A é triangular (superior ou inferior), seus autovalores são exatamente as entradas da diagonal.
Se \lambda é autovalor de A e A é invertível, então 1/\lambda é autovalor de A^{-1}.
Para qualquer inteiro m\ge1, os autovalores de A^{m} são \lambda^{m} (cada autovalor elevado à potência m).
O determinante de A é o produto das suas autovalores (contando multiplicidades algébricas).
O traço de A (soma das entradas da diagonal) é a soma das autovalores (contando multiplicidades algébricas).
Estratégia prática: para matrizes 2\times2 faço o polinômio característico via fórmula \lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A. Para matrizes triangulares uso as entradas da diagonal. Para cada autovalor resolvo o sistema linear correspondente para achar o autoespaço e um autovetor explícito.
Para \lambda=5: calcule A_a-5I=\begin{pmatrix}-2 & 2\\[4pt]4 & -4\end{pmatrix}. Resolver (A_a-5I)v=0: -2x+2y=0 \Rightarrow x=y. Um autovetor: v_1=(1,1)^T. O autoespaço é \operatorname{span}\{(1,1)^T\}.
Para \lambda=-1: A_a+I=\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix}. Resolver 4x+2y=0 \Rightarrow y=-2x. Um autovetor: v_2=(1,-2)^T. Autoespaço \operatorname{span}\{(1,-2)^T\}.
Autovalores de A_a^{-1}: reciprocais (matriz é invertível porque \det\neq0): \displaystyle \frac{1}{5} e \displaystyle -1.
Autovalores de A_a^{4}: elevar cada autovalor à quarta potência: \displaystyle 5^{4}=625 e \displaystyle (-1)^{4}=1.
Determinante por autovalores: produto 5\cdot(-1)=-5 (confere com cálculo direto).
Traço e determinante: \displaystyle \operatorname{tr}(A_c)=3+1=4, \displaystyle \det(A_c)=3\cdot1-(-1)\cdot1=3+1=4.
Polinômio característico:
\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2.
Autovalor único \lambda=2 com multiplicidade algébrica 2.
Autoespaço (atenção: possivelmente defeituoso)
Calcular A_c-2I=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}. Resolver x-y=0\Rightarrow x=y. O sistema dá dimensão 1 do núcleo, portanto o autoespaço associado a \lambda=2 é \operatorname{span}\{(1,1)^T\}. Observação: aqui a multiplicidade geométrica é 1 < multiplicidade algébrica 2, logo A_c não é diagonalizável.
Um autovetor (qualquer um não-nulo do autoespaço): v=(1,1)^T.
Autovalores de A_c^{-1}: como A_c é invertível (\det=4\neq0), o único autovalor de A_c é 2 (dupla), logo os autovalores de A_c^{-1} são \tfrac{1}{2} com multiplicidade algébrica 2.
Autovalores de A_c^{4}: \;2^{4}=16 (com multiplicidade 2).
Como A_g é triangular superior, seus autovalores são as entradas da diagonal: \lambda_1=1,\\ \lambda_2=2,\\ \lambda_3=1. Observe que \lambda=1 aparece com multiplicidade algébrica 2.
Autoespaços
Para \lambda=1: calcular A_g-I=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}. Resolver (A_g-I)v=0. Isso dá a equação x_2+x_3=0 e nenhuma condição sobre x_1. Logo x_1 é livre e x_3=-x_2. O autoespaço é bidimensional: \operatorname{span}\{(1,0,0)^T,\\ (0,1,-1)^T\}.
Para \lambda=2: A_g-2I=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\[4pt]0 & 0 & 1\\[4pt]0 & 0 & -1\end{pmatrix}. Das equações vem x_3=0 e -x_1+x_2+x_3=0\Rightarrow -x_1+x_2=0. Logo x_1=x_2 e x_3=0. Um autovetor: (1,1,0)^T. Autoespaço \operatorname{span}\{(1,1,0)^T\}.
Autovetores (um por autovalor escolhido):
Para \lambda=1: posso escolher v_{1a}=(1,0,0)^T (ou v_{1b}=(0,1,-1)^T).
Para \lambda=2: escolher v_2=(1,1,0)^T.
Autovalores de A_g^{-1}: reciprocais \;1,\\ \tfrac{1}{2},\\\ 1 (1 aparece duas vezes).
Autovalores de A_g^{4}: 1^{4}=1,\\\ 2^{4}=16,\\\ 1^{4}=1.
Observação prática: a primeira coluna tem zeros abaixo do elemento superior, então o determinante de A_h-\lambda I pode ser calculado por expansão pela primeira coluna:
\lambda=1: A_h-I=\begin{pmatrix}0 & 2 & 1\\[4pt]0 & 2 & 1\\[4pt]0 & 5 & -2\end{pmatrix}. As duas primeiras linhas repetem 2x_2+x_3=0. Da terceira: 5x_2-2x_3=0. Substituindo x_3=-2x_2 na terceira dá 5x_2-2(-2x_2)=5x_2+4x_2=9x_2=0\Rightarrow x_2=0\Rightarrow x_3=0. Assim apenas x_1 livre. Autoespaço \operatorname{span}\{(1,0,0)^T\}. Autovetor: v_1=(1,0,0)^T.
\lambda=4: A_h-4I=\begin{pmatrix}-3 & 2 & 1\\[4pt]0 & -1 & 1\\[4pt]0 & 5 & -5\end{pmatrix}. Da segunda linha: -x_2+x_3=0\Rightarrow x_3=x_2. A terceira é redundante (5x_2-5x_3=0). Primeira linha: -3x_1+2x_2+x_3=0\Rightarrow -3x_1+3x_2=0\Rightarrow x_1=x_2. Logo vetores da forma (t,t,t). Um autovetor: v_4=(1,1,1)^T.
\lambda=-2: A_h+2I=\begin{pmatrix}3 & 2 & 1\\[4pt]0 & 5 & 1\\[4pt]0 & 5 & 1\end{pmatrix}. Da segunda/terceira linha: 5x_2+x_3=0\Rightarrow x_3=-5x_2. Primeira linha: 3x_1+2x_2+x_3=0\Rightarrow 3x_1+2x_2-5x_2=3x_1-3x_2=0\Rightarrow x_1=x_2. Então autovetores da forma (t,t,-5t). Um autovetor: v_{-2}=(1,1,-5)^T.
Autovalores de A_h^{-1}: reciprocais \;1,\\ \tfrac{1}{4},\\\ -\tfrac{1}{2}.
Autovalores de A_h^{4}: 1^{4}=1,\\\ 4^{4}=256,\\ (-2)^{4}=16.
Para matriz diagonal, cada entrada diagonal é um autovalor com multiplicidade igual à repetição na diagonal. Assim os autovalores são: \;2 (com multiplicidade algébrica 2), \;3, \;4.
Autoespaços e autovetores
Para \lambda=2: autoespaço é o subespaço gerado pelos vetores padrão correspondentes às posições 1 e 2: \operatorname{span}\{(1,0,0,0)^T,\\ (0,1,0,0)^T\}. Um autovetor exemplificativo: (1,0,0,0)^T.
Para \lambda=3: autoespaço \operatorname{span}\{(0,0,1,0)^T\}. Autovetor: (0,0,1,0)^T.
Para \lambda=4: autoespaço \operatorname{span}\{(0,0,0,1)^T\}. Autovetor: (0,0,0,1)^T.
Autovalores de A_k^{-1} (matriz invertível): reciprocais \;\tfrac{1}{2},\\ \tfrac{1}{2},\\ \tfrac{1}{3},\\ \tfrac{1}{4}.
Autovalores de A_k^{4}: elevar cada diagonal à quarta potência: \;2^{4}=16 (duas vezes), \;3^{4}=81, \;4^{4}=256.
Determinante: produto 2\cdot2\cdot3\cdot4=48.
Traço: soma 2+2+3+4=11.]
Resposta
(a) I. Autovalores \;5,\\\ -1. Autoespaços \;\operatorname{span}\{(1,1)^T\} para \lambda=5 e \operatorname{span}\{(1,-2)^T\} para \lambda=-1.
II. Autovetores: para \lambda=5 tomar (1,1)^T; para \lambda=-1 tomar (1,-2)^T.
III. Autovalores de A_a^{-1}: \tfrac{1}{5},\\\ -1.
IV. Autovalores de A_a^{4}: 625,\\\ 1.
V. Determinante: -5.
VI. Traço: 4.
(b) I. Autovalores \;2,\\\ 3. Autoespaços \;\operatorname{span}\{(1,1)^T\} para \lambda=2 e \operatorname{span}\{(4,3)^T\} para \lambda=3.
II. Autovetores: (1,1)^T e (4,3)^T.
III. Autovalores de A_b^{-1}: \tfrac{1}{2},\\ \tfrac{1}{3}.
IV. Autovalores de A_b^{4}: 16,\\\ 81.
V. Determinante: 6.
VI. Traço: 5.
(c) I. Autovalor único \;2 (multiplicidade algébrica 2). Autoespaço \operatorname{span}\{(1,1)^T\} (dimensão geométrica 1).
II. Autovetor: (1,1)^T.
III. Autovalores de A_c^{-1}: \tfrac{1}{2} (duas vezes).
IV. Autovalores de A_c^{4}: 16 (duas vezes).
V. Determinante: 4.
VI. Traço: 4.
(g) I. Autovalores \;1 (multiplicidade algébrica 2), \;2. Autoespaços: para \lambda=1, \operatorname{span}\{(1,0,0)^T,\\ (0,1,-1)^T\}; para \lambda=2, \operatorname{span}\{(1,1,0)^T\}.
II. Autovetores: por exemplo (1,0,0)^T para \lambda=1 e (1,1,0)^T para \lambda=2.
III. Autovalores de A_g^{-1}: 1,\\ \tfrac{1}{2},\\\ 1.
IV. Autovalores de A_g^{4}: 1,\\\ 16,\\\ 1.
V. Determinante: 2.
VI. Traço: 4.
(h) I. Autovalores \;1,\\\ 4,\\\ -2. Autoespaços: para \lambda=1, \operatorname{span}\{(1,0,0)^T\}; para \lambda=4, \operatorname{span}\{(1,1,1)^T\}; para \lambda=-2, \operatorname{span}\{(1,1,-5)^T\}.
II. Autovetores: (1,0,0)^T,\\ (1,1,1)^T,\\ (1,1,-5)^T respectivamente.
III. Autovalores de A_h^{-1}: 1,\\ \tfrac{1}{4},\\\ -\tfrac{1}{2}.
IV. Autovalores de A_h^{4}: 1,\\\ 256,\\\ 16.
V. Determinante: -8.
VI. Traço: 3.
(k) I. Autovalores \;2 (duas vezes), \;3,\\\ 4. Autoespaços: para \lambda=2, \operatorname{span}\{(1,0,0,0)^T,\\ (0,1,0,0)^T\}; para \lambda=3, \operatorname{span}\{(0,0,1,0)^T\}; para \lambda=4, \operatorname{span}\{(0,0,0,1)^T\}.
II. Autovetores: (1,0,0,0)^T,\\ (0,0,1,0)^T,\\ (0,0,0,1)^T (um por valor, e mais um para \lambda=2 se quiser).
III. Autovalores de A_k^{-1}: \tfrac{1}{2},\\ \tfrac{1}{2},\\ \tfrac{1}{3},\\ \tfrac{1}{4}.
IV. Autovalores de A_k^{4}: 16,\\\ 16,\\\ 81,\\\ 256.
V. Determinante: 48.
VI. Traço: 11.