Questão 5(2,0 \mathrm{pt}). Use o processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal para o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2}, com o produto interno canônico e a base B=\{(2,1),(1,1)\}.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Espaço vetorial: V=\mathbb{R}^{2}.
  • Produto interno: o produto interno canônico (produto escalar usual), ou seja, para \mathbf{x}=(x_{1},x_{2}) e \mathbf{y}=(y_{1},y_{2}) vale \langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}.
  • Base fornecida: B=\{(2,1),(1,1)\}. Vou chamar \mathbf{v}_{1}=(2,1) e \mathbf{v}_{2}=(1,1).
  • Pedido: usar o processo de Gram–Schmidt para encontrar uma base ortonormal de V obtida a partir de B. Ou seja, produzir vetores unitários ortogonais \mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2} que formem uma base de \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

O método (fórmulas e ideias que vou usar) — explicação didática:
  • Gram–Schmidt transforma uma lista de vetores linearmente independentes \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\dots em uma lista ortogonal \mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2},\dots, e então normaliza para obter uma base ortonormal \mathbf{u}_{i}=\dfrac{\mathbf{w}_{i}}{\|\mathbf{w}_{i}\|}.
  • Primeiro vetor: \mathbf{w}_{1}=\mathbf{v}_{1} e \mathbf{u}_{1}=\dfrac{\mathbf{w}_{1}}{\|\mathbf{w}_{1}\|}.
  • Para \mathbf{v}_{2}, subtrai-se a projeção de \mathbf{v}_{2} sobre \mathbf{u}_{1} para tornar ortogonal a \mathbf{u}_{1}:
\mathbf{w}_{2}=\mathbf{v}_{2}-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_{1}}(\mathbf{v}_{2}), \qquad \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_{1}}(\mathbf{v}_{2})=\langle \mathbf{v}_{2},\mathbf{u}_{1}\rangle\,\mathbf{u}_{1},
onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto escalar canônico.
  • Depois \mathbf{u}_{2}=\dfrac{\mathbf{w}_{2}}{\|\mathbf{w}_{2}\|}.
  • Explicando as partes: \langle \mathbf{v}_{2},\mathbf{u}_{1}\rangle é um número (medida de quanto \mathbf{v}_{2} “aponta” na direção \mathbf{u}_{1}). Multiplicando esse número por \mathbf{u}_{1} obtemos a componente de \mathbf{v}_{2} na direção de \mathbf{u}_{1}; subtraindo dessa componente sobra a parte de \mathbf{v}_{2} perpendicular a \mathbf{u}_{1}.
  • Norma de um vetor \mathbf{x}=(x_{1},x_{2}) pelo produto interno canônico: \|\mathbf{x}\|=\sqrt{\langle \mathbf{x},\mathbf{x}\rangle}=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}.

Passo 3

Aplicando ao primeiro vetor \mathbf{v}_{1}=(2,1):
  • Calcular a norma:
\|\mathbf{v}_{1}\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
  • Normalizar para obter \mathbf{u}_{1}:
\mathbf{u}_{1}=\dfrac{\mathbf{v}_{1}}{\|\mathbf{v}_{1}\|}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(2,1).
Comentário prático: \mathbf{u}_{1} é um vetor de comprimento 1 na mesma direção de \mathbf{v}_{1}. Anota aí: \mathbf{u}_{1}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(2,1).

Passo 4

Agora projetar \mathbf{v}_{2}=(1,1) sobre \mathbf{u}_{1} e formar \mathbf{w}_{2}.
  • Primeiro calcule a componente escalar \langle \mathbf{v}_{2},\mathbf{u}_{1}\rangle:
\langle \mathbf{v}_{2},\mathbf{u}_{1}\rangle = (1,1)\cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}}(2,1) = \dfrac{1}{\sqrt{5}}(1\cdot 2 + 1\cdot 1) = \dfrac{3}{\sqrt{5}}.
  • A projeção de \mathbf{v}_{2} sobre \mathbf{u}_{1} é
\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_{1}}(\mathbf{v}_{2}) = \langle \mathbf{v}_{2},\mathbf{u}_{1}\rangle\,\mathbf{u}_{1} = \dfrac{3}{\sqrt{5}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}}(2,1) = \dfrac{3}{5}(2,1).
Observação: ao multiplicar \dfrac{3}{\sqrt{5}} por \dfrac{1}{\sqrt{5}}(2,1) obtém-se \dfrac{3}{5}(2,1).

Passo 5

Calcular \mathbf{w}_{2}=\mathbf{v}_{2}-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_{1}}(\mathbf{v}_{2}):
\mathbf{w}_{2}=(1,1)-\dfrac{3}{5}(2,1).
Fazendo as contas coordenada a coordenada:
\dfrac{3}{5}(2,1)=\left(\dfrac{6}{5},\dfrac{3}{5}\right),
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\mathbf{w}_{2}=\left(1-\dfrac{6}{5},\;1-\dfrac{3}{5}\right) =\left(-\dfrac{1}{5},\;\dfrac{2}{5}\right).
Para facilitar a normalização, observe que \mathbf{w}_{2}=\dfrac{1}{5}(-1,2).

Passo 6

Normalizar \mathbf{w}_{2} para obter \mathbf{u}_{2}.
  • Norma de \mathbf{w}_{2}:
\|\mathbf{w}_{2}\|=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}} =\sqrt{\dfrac{1}{25}+\dfrac{4}{25}} =\sqrt{\dfrac{5}{25}} =\sqrt{\dfrac{1}{5}} =\dfrac{\sqrt{5}}{5}.
  • Então
\mathbf{u}_{2}=\dfrac{\mathbf{w}_{2}}{\|\mathbf{w}_{2}\|} =\dfrac{\left(-\dfrac{1}{5},\dfrac{2}{5}\right)}{\dfrac{\sqrt{5}}{5}} =\left(-\dfrac{1}{\sqrt{5}},\;\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right) =\dfrac{1}{\sqrt{5}}(-1,2).
Dica prática: dividir por \dfrac{\sqrt{5}}{5} é o mesmo que multiplicar por \dfrac{5}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{1}, e assim as frações simplificam.

Passo 7

Verificação rápida (importante para prova): confirmar que \mathbf{u}_{1} e \mathbf{u}_{2} são ortonormais.
  • Produto escalar:
\langle \mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2}\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{5}}(2,1)\cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}}(-1,2) = \dfrac{1}{5} (2\cdot(-1) + 1\cdot 2) = \dfrac{1}{5}(-2+2)=0.
  • Normas:
\|\mathbf{u}_{1}\|=\sqrt{\langle \mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{1}\rangle}=1, \qquad \|\mathbf{u}_{2}\|=\sqrt{\langle \mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{2}\rangle}=1.
Portanto \mathbf{u}_{1} e \mathbf{u}_{2} são ortogonais e cada uma tem norma 1, isto é, formam uma base ortonormal.

Passo 8

Conclusão e observação final:
  • Uma base ortonormal obtida por Gram–Schmidt a partir de B é
\left\{\dfrac{1}{\sqrt{5}}(2,1),\;\dfrac{1}{\sqrt{5}}(-1,2)\right\}.
  • Observação: a ortonormalização é única até mudança de sinal em cada vetor (poderia trocar \mathbf{u}_{2} por -\mathbf{u}_{2} e ainda seria ortonormal).

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{5}}(2,1)
\dfrac{1}{\sqrt{5}}(-1,2)

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