Questão
. Use o processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal para o espaço vetorial
, com o produto interno canônico e a base
.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Espaço vetorial:
. - Produto interno: o produto interno canônico (produto escalar usual), ou seja, para
e vale . - Base fornecida:
. Vou chamar e . - Pedido: usar o processo de Gram–Schmidt para encontrar uma base ortonormal de
obtida a partir de . Ou seja, produzir vetores unitários ortogonais que formem uma base de .
Passo 2
O método (fórmulas e ideias que vou usar) — explicação didática:
- Gram–Schmidt transforma uma lista de vetores linearmente independentes
em uma lista ortogonal , e então normaliza para obter uma base ortonormal . - Primeiro vetor:
e . - Para
, subtrai-se a projeção de sobre para tornar ortogonal a :
onde
é o produto escalar canônico.
- Depois
. - Explicando as partes:
é um número (medida de quanto “aponta” na direção ). Multiplicando esse número por obtemos a componente de na direção de ; subtraindo dessa componente sobra a parte de perpendicular a . - Norma de um vetor
pelo produto interno canônico: .
Passo 3
Aplicando ao primeiro vetor
:
- Calcular a norma:
- Normalizar para obter
:
Comentário prático:
é um vetor de comprimento
na mesma direção de
. Anota aí:
.
Passo 4
Agora projetar
sobre
e formar
.
- Primeiro calcule a componente escalar
:
- A projeção de
sobre é
Observação: ao multiplicar
por
obtém-se
.
Passo 5
Calcular
:
Fazendo as contas coordenada a coordenada:
logo
Para facilitar a normalização, observe que
.
Passo 6
Normalizar
para obter
.
- Norma de
:
- Então
Dica prática: dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, e assim as frações simplificam.
Passo 7
Verificação rápida (importante para prova): confirmar que
e
são ortonormais.
- Produto escalar:
- Normas:
Portanto
e
são ortogonais e cada uma tem norma
, isto é, formam uma base ortonormal.
Passo 8
Conclusão e observação final:
- Uma base ortonormal obtida por Gram–Schmidt a partir de
é
- Observação: a ortonormalização é única até mudança de sinal em cada vetor (poderia trocar
por e ainda seria ortonormal).