Question 3(2,0 \mathrm{pt}). Considere o operador linear dado por:
\begin{aligned} T :& \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3} \\\ (x, y, z) & \mapsto T(x, y, z)=(x+y,-y, z) \end{aligned}
O operador é diagonalizável? Por que? Justifique sua respostas.
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z)=(x+y,\,-y,\,z).
A pergunta é: “O operador é diagonalizável? Por que? Justifique.”
Informações relevantes fornecidas:
A ação de T em coordenadas padrão está explicitada componente a componente.
O espaço ambiente tem dimensão 3.
Precisa-se decidir diagonalizabilidade e justificar (ou seja, apresentar autovalores, multiplicidades algébrica e geométrica, e/ou uma base de autovetores).
Passo 2
Vamos escrever a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\} de \mathbb{R}^3. Aplicando T aos vetores da base:
que tem dimensão 1. A multiplicidade geométrica de \lambda=-1 é 1, igual à sua multiplicidade algébrica.]
Passo 5
Critério de diagonalizabilidade que usarei (explicado de forma simples): um operador linear em um espaço de dimensão n é diagonalizável se, e somente se, existe uma base formada por autovetores. Uma forma prática de verificar isso é somar as dimensões dos espaços próprios (ou seja, as multiplicidades geométricas) e checar se a soma é n. Outra forma equivalente é verificar que, para cada autovalor, sua multiplicidade geométrica coincide com sua multiplicidade algébrica — aí se obtém o número total de n autovetores linearmente independentes.
No nosso caso, as multiplicidades geométricas são 2 para \lambda=1 e 1 para \lambda=-1. A soma é 2+1=3, que é a dimensão do espaço. Portanto existem 3 autovetores linearmente independentes, i.e., uma base de autovetores.
Um conjunto explícito de autovetores (base de autovetores) é, por exemplo,
v_1=(1,0,0),\quad v_2=(0,0,1)\quad\text{(autovetores para \(\lambda=1\))},
v_3=(1,-2,0)\quad\text{(autovetor para \(\lambda=-1\)).}
Eles são linearmente independentes e diagonalizam T. Na base \{v_1,v_2,v_3\} a matriz de T é diagonal com entradas 1,1,-1.
Resposta
Sim. O operador é diagonalizável, pois os autovalores são \lambda=1 (multiplicidade algébrica 2, multiplicidade geométrica 2) e \lambda=-1 (multiplicidade algébrica 1, multiplicidade geométrica 1), totalizando 3 autovetores independentes; por exemplo uma base de autovetores é (1,0,0),(0,0,1),(1,-2,0).