Questão 1 (4pts)
De quantas formas diferentes podemos colocar 20 bolas idênticas em 4 caixas diferentes se cada caixa deve ter pelo menos 2 bolas?

Passo 1

O enunciado pede: de quantas formas diferentes podemos colocar \,20\, bolas idênticas em \,4\, caixas diferentes, sabendo que cada caixa deve conter pelo menos \,2\, bolas.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • \,20\, bolas idênticas.
  • \,4\, caixas distintas (ou seja, a identificação das caixas importa).
  • Restrição: em cada caixa deve haver pelo menos \,2\, bolas.
    A pergunta é: contar o número de distribuições (arranjos) possíveis que satisfaçam essas condições.

Passo 2

Modelagem matemática: denoto por \,x_i\, o número de bolas na caixa i, para i=1,2,3,4. Então as condições do enunciado viram:
x_1+x_2+x_3+x_4=20,
com
x_i\ge 2\quad\text{para cada }i=1,2,3,4.
Aqui \,x_i\, são números inteiros não negativos (na verdade inteiros \ge2). O objetivo é contar o número de soluções inteiras dessa equação sob as restrições dadas.

Passo 3

Técnica padrão para esse tipo de restrição “cada variável tem pelo menos um mínimo” é retirar o mínimo de cada variável e trabalhar com variáveis não-negativas. Defino:
y_i = x_i - 2\quad\text{para }i=1,2,3,4.
Como x_i\ge 2, segue que y_i\ge 0. Substituindo na soma:
(y_1+2)+(y_2+2)+(y_3+2)+(y_4+2)=20.
Daí
y_1+y_2+y_3+y_4 = 20 - 8 = 12.
Portanto, contar as distribuições originais é equivalente a contar as soluções em inteiros não negativos de
y_1+y_2+y_3+y_4=12,
com y_i\ge 0.

Passo 4

Agora vou ensinar o princípio que usamos: “stars and bars” (estrelas e barras). A versão que usaremos diz: o número de soluções em inteiros não negativos de
y_1+y_2+\dots+y_k = n
é
\binom{n+k-1}{k-1}.
Explicação intuitiva (sem jargão): imagine n estrelas alinhadas (cada estrela representa uma unidade a distribuir) e k-1 barras que separam as k caixas. Cada arranjo distinto de estrelas e barras corresponde a uma distribuição distinta. No total há n+(k-1) posições e basta escolher em quais posições ficarão as k-1 barras, daí o número de escolhas é \binom{n+k-1}{k-1}. Aqui:
  • n é o total de unidades a distribuir (no nosso caso n=12),
  • k é o número de caixas (no nosso caso k=4).
    Portanto o número de soluções é
\binom{12+4-1}{4-1} = \binom{15}{3}.

Passo 5

Cálculo explícito do binômio:
\binom{15}{3} = \frac{15\cdot14\cdot13}{3\cdot2\cdot1}.
Faço simplificações fáceis para evitar cálculo pesado: \dfrac{15}{3}=5 e \dfrac{14}{2}=7. Assim
\binom{15}{3} = 5\cdot7\cdot13.
Calculando passo a passo: 5\cdot7=35 e 35\cdot13 = 35\cdot(10+3)=350+105=455.

Passo 6

Interpretação final: existem \,455\, distribuições diferentes de \,20\, bolas idênticas em \,4\, caixas distintas com pelo menos \,2\, bolas em cada caixa.

Resposta

455

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