Utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, obtenha uma base ortonormal para o subespaço vetorial V de \mathbb{R}^{4} que tem como base o conjunto \{(1,3,0,1),(2,0,6,0),(1,1,1,1)\} (utilize o método com os vetores nessa ordem).

Passo 1

O enunciado pede que, usando o processo de ortogonalização de Gram–Schmidt (na ordem dada dos vetores), eu encontre uma base ortonormal para o subespaço V\subset\mathbb{R}^4 gerado pelo conjunto
v_1=(1,3,0,1),\qquad v_2=(2,0,6,0),\qquad v_3=(1,1,1,1).
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{uma base de }V=\{v_1,v_2,v_3\}\text{ e a ordem dos vetores: }v_1,\;v_2,\;v_3.
Objetivo claro: produzir três vetores ortonormais \{e_1,e_2,e_3\} que formem uma base ortonormal de V, obtidos aplicando Gram–Schmidt nessa ordem.

Passo 2

Vou explicar o método Gram–Schmidt de forma direta e prática, para você usar na prova:
  • Começamos com vetores v_1,v_2,\dots,v_k. Definimos vetores ortogonais u_1,u_2,\dots,u_k por: u_1 = v_1,
u_j = v_j - \sum_{i=1}^{j-1} \operatorname{proj}_{u_i}(v_j)\quad\text{para }j\ge2,
onde a projeção de v sobre u é
\operatorname{proj}_u(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
Aqui \langle x,y\rangle é o produto interno usual em \mathbb{R}^4: \langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^4 x_i y_i.
  • Depois de obter os u_j (ortogonais), normalizamos cada um para obter e_j: e_j=\frac{u_j}{\|u_j\|},\qquad \|u_j\|=\sqrt{\langle u_j,u_j\rangle}.
Vou aplicar isso passo a passo com os v_1,v_2,v_3 dados — calculando produto interno, projeções, subtrações, e normalizações explicitamente.

Passo 3

Primeiro vetor:
u_1 = v_1 = (1,3,0,1).
Calculo da norma ao quadrado:
\langle u_1,u_1\rangle = 1^2+3^2+0^2+1^2 = 1+9+0+1 = 11.
Portanto \|u_1\|=\sqrt{11} e o primeiro vetor unitário é
e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=\frac{1}{\sqrt{11}}(1,3,0,1).
Expliquei: para normalizar dividimos cada componente pela norma; isso garante \langle e_1,e_1\rangle=1.

Passo 4

Agora orthogonalizamos v_2 em relação a u_1.
  1. Calculo do produto interno \langle v_2,u_1\rangle:
\langle v_2,u_1\rangle = 2\cdot1 + 0\cdot3 + 6\cdot0 + 0\cdot1 = 2.
  1. Projeção de v_2 sobre u_1:
\operatorname{proj}_{u_1}(v_2)=\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1 = \frac{2}{11}\,(1,3,0,1).
  1. Subtração para obter u_2:
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_2) = (2,0,6,0) - \frac{2}{11}(1,3,0,1).
Calcule componente a componente:
u_2=\left(2-\frac{2}{11},\;0-\frac{6}{11},\;6-0,\;0-\frac{2}{11}\right) =\left(\frac{20}{11},-\frac{6}{11},6,-\frac{2}{11}\right).
Fatorando 1/11:
u_2=\frac{1}{11}(20,-6,66,-2).
  1. Norma de u_2:
    Primeiro calcule a soma dos quadrados do numerador s_2=(20,-6,66,-2):
20^2+(-6)^2+66^2+(-2)^2 = 400+36+4356+4 = 4796.
Como u_2=\frac{1}{11}s_2, temos
\|u_2\|^2=\frac{4796}{11^2}=\frac{4796}{121}=\frac{436}{11}
(observei que 4796=4\cdot1199=4\cdot11\cdot109, por isso simplifica para 436/11).
Logo
\|u_2\|=\sqrt{\frac{436}{11}}=\frac{\sqrt{4796}}{11}.
  1. Normalização: o segundo vetor unitário é
e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}=\frac{\frac{1}{11}(20,-6,66,-2)}{\sqrt{4796}/11} =\frac{1}{\sqrt{4796}}(20,-6,66,-2).
Observação didática: multiplicando numerador e denominador por 11 simplifica a expressão, dando um vetor com componentes inteiros dividido por \sqrt{4796}.

Passo 5

Agora orthogonalizamos v_3 em relação a u_1 e u_2.
  1. Projeção de v_3 sobre u_1:
    Calcule \langle v_3,u_1\rangle:
\langle v_3,u_1\rangle = 1\cdot1 + 1\cdot3 +1\cdot0 +1\cdot1 = 5.
Então
\operatorname{proj}_{u_1}(v_3)=\frac{5}{11}(1,3,0,1).
  1. Projeção de v_3 sobre u_2:
    Primeiro calcule \langle v_3,u_2\rangle. Usando u_2=(1/11)(20,-6,66,-2):
\langle v_3,u_2\rangle = \frac{1}{11}\big(1\cdot20 + 1\cdot(-6) + 1\cdot66 + 1\cdot(-2)\big) = \frac{78}{11}.
Já sabemos \langle u_2,u_2\rangle=\frac{436}{11}. Assim o coeficiente da projeção é
\frac{\langle v_3,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle} = \frac{78/11}{436/11} = \frac{78}{436} = \frac{39}{218}.
Portanto
\operatorname{proj}_{u_2}(v_3)=\frac{39}{218}\,u_2 =\frac{39}{218}\cdot\frac{1}{11}(20,-6,66,-2) =\frac{39}{2398}(20,-6,66,-2).
  1. Subtração para obter u_3:
u_3 = v_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_3) - \operatorname{proj}_{u_2}(v_3).
Fazendo as contas (colocando tudo com denominador comum e simplificando) obtemos, após simplificação,
u_3 = \frac{1}{109}(24,-29,-8,63).
(Se você quiser, pode verificar rápido que esse vetor é ortogonal a u_1 e a u_2: o produto interno com u_1=(1,3,0,1) 24-87+0+63=0, e com s_2=(20,-6,66,-2) também dá 0.)

Passo 6

Agora normalizamos u_3.
Calcule a soma dos quadrados do numerador s_3=(24,-29,-8,63):
24^2+(-29)^2+(-8)^2+63^2 = 576+841+64+3969 = 5450.
Como u_3=\dfrac{1}{109}s_3, tem-se
\|u_3\|^2 = \frac{5450}{109^2} = \frac{50}{109}
porque 5450=50\cdot109. Então
\|u_3\|=\sqrt{\frac{50}{109}}=\frac{\sqrt{5450}}{109}.
A normalização dá o terceiro vetor unitário:
e_3 = \frac{u_3}{\|u_3\|} = \frac{\frac{1}{109}(24,-29,-8,63)}{\sqrt{50/109}} = \frac{1}{\sqrt{5450}}(24,-29,-8,63).

Resposta

e_1=\frac{1}{\sqrt{11}}(1,3,0,1)
e_2=\frac{1}{\sqrt{4796}}(20,-6,66,-2)
e_3=\frac{1}{\sqrt{5450}}(24,-29,-8,63)

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