Utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, obtenha uma base ortonormal para o subespaço vetorial
de
que tem como base o conjunto
(utilize o método com os vetores nessa ordem).
Passo 1
O enunciado pede que, usando o processo de ortogonalização de Gram–Schmidt (na ordem dada dos vetores), eu encontre uma base ortonormal para o subespaço
gerado pelo conjunto
Informações relevantes que o enunciado dá:
Objetivo claro: produzir três vetores ortonormais
que formem uma base ortonormal de
, obtidos aplicando Gram–Schmidt nessa ordem.
Passo 2
Vou explicar o método Gram–Schmidt de forma direta e prática, para você usar na prova:
- Começamos com vetores
. Definimos vetores ortogonais por:
onde a projeção de
sobre
é
Aqui
é o produto interno usual em
:
.
- Depois de obter os
(ortogonais), normalizamos cada um para obter :
Vou aplicar isso passo a passo com os
dados — calculando produto interno, projeções, subtrações, e normalizações explicitamente.
Passo 3
Primeiro vetor:
Calculo da norma ao quadrado:
Portanto
e o primeiro vetor unitário é
Expliquei: para normalizar dividimos cada componente pela norma; isso garante
.
Passo 4
Agora orthogonalizamos
em relação a
.
- Calculo do produto interno
:
- Projeção de
sobre :
- Subtração para obter
:
Calcule componente a componente:
Fatorando
:
- Norma de
:
Primeiro calcule a soma dos quadrados do numerador:
Como
, temos
(observei que
, por isso simplifica para
).
Logo
Logo
- Normalização: o segundo vetor unitário é
Observação didática: multiplicando numerador e denominador por
simplifica a expressão, dando um vetor com componentes inteiros dividido por
.
Passo 5
Agora orthogonalizamos
em relação a
e
.
- Projeção de
sobre :
Calcule:
Então
- Projeção de
sobre :
Primeiro calcule. Usando :
Já sabemos
. Assim o coeficiente da projeção é
Portanto
- Subtração para obter
:
Fazendo as contas (colocando tudo com denominador comum e simplificando) obtemos, após simplificação,
(Se você quiser, pode verificar rápido que esse vetor é ortogonal a
e a
: o produto interno com
dá
, e com
também dá
.)
Passo 6
Agora normalizamos
.
Calcule a soma dos quadrados do numerador
:
Como
, tem-se
porque
. Então
A normalização dá o terceiro vetor unitário: