Para cada uma das matrizes a seguir, encontre uma base para o espaço linha, uma base para o espaço coluna e uma base para o núcleo.
(lll1 & 3 & 2 2 & 1 & 4 4 & 7 & 8)

Passo 1

O enunciado pede, para a matriz
A = 1 & 3 & 2 2 & 1 & 4 4 & 7 & 8 ,
uma base para o espaço linha de A, uma base para o espaço coluna de A e uma base para o núcleo de A. Vamos usar redução de linha para descobrir o posto e então extrair as bases dos espaços.

Passo 2

Reduzimos A a uma forma escalonada por linhas:
1 & 3 & 2 2 & 1 & 4 4 & 7 & 8 ;xrightarrowR2 R2-2R1,;R3 R3-4R1; 1 & 3 & 2 0 & -5 & 0 0 & -5 & 0 ;xrightarrowR3 R3-R2; 1 & 3 & 2 0 & -5 & 0 0 & 0 & 0
Em seguida, dividimos R2 por -5 e eliminamos acima:
1 & 3 & 2 0 & -5 & 0 0 & 0 & 0 ;xrightarrowR2 -tfrac15R2; 1 & 3 & 2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 ;xrightarrowR1 R1-3R2; 1 & 0 & 2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0
Dessa forma, o posto de A é 2 e os pivôs estão nas colunas 1 e 2.

Passo 3

Para obtermos uma base do espaço linha, podemos tomar as duas primeiras linhas da forma escalonada final, que são independentes:
(1,0,2) e (0,1,0)
Como alternativa equivalente, poderíamos usar as duas primeiras linhas originais ( R1 e R2) já que também são independentes:
(1,3,2) e (2,1,4)

Passo 4

Para a base do espaço coluna de A, escolhemos as colunas originais correspondentes aos pivôs, ou seja, as colunas 1 e 2:
124 e 317

Passo 5

Para o núcleo, resolvemos A x = 0. A forma reduzida diz
x1 + 2x3 = 0, x2 = 0, x3 livre
Tomando x3 = t, temos x1 = -2t, x2=0. Logo
x = t,-201,
e uma base do núcleo é (-2,0,1)^T.

Resposta

Base do espaço linha: (1,3,2),,(2,1,4).
Base do espaço coluna: ,(1,2,4)^T,,(3,1,7)^T.
Base do núcleo: (-2,0,1)^T.

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