O enunciado pede uma transformação linear tal que
e .
O conteúdo envolve teorema do posto e da nulidade, bases compatíveis e representação matricial de .
Passo 2
Como os vetores e são linearmente independentes em , temos
Pela dimensão do domínio e pelo teorema do posto e nulidade,
Como sabemos que , concluímos
Passo 3
Para definir , escolhemos uma base do domínio que contenha um gerador do núcleo e mais dois vetores que projetem à base da imagem. Seja
Aqui gera e são independentes e não pertencem ao núcleo.
Passo 4
Definimos sobre essa base da forma
Isso garante e .
Passo 5
Agora expressamos na base canônica . Note que
e escolhemos
Logo
A matriz de na base canônica é então
cuja coluna j é T(ej).
Resposta
Uma fórmula para T é
T(x,y,z)=l(-2x+y+2z,;-x+y+z,;2y,;-x+y+zr)
Verifica-se facilmente que Im(T)=span(1,1,2,1),(2,1,0,1) e (1,0,1)inker(T).