4 Determine uma aplicação linear T: R^3 R^4 tal que Im(T)=span(1,1,2,1),(2,1,0,1) e(1,0,1) in ker(T)

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:R^3toR^4 tal que
Im(T)=span(1,1,2,1),(2,1,0,1)
e (1,0,1)inker(T).
O conteúdo envolve teorema do posto e da nulidade, bases compatíveis e representação matricial de T.

Passo 2

Como os vetores (1,1,2,1) e (2,1,0,1) são linearmente independentes em R^4, temos
diml(Im(T)r)=2
Pela dimensão do domínio dim(R^3)=3 e pelo teorema do posto e nulidade,
diml(ker(T)r)=3-2=1
Como sabemos que (1,0,1)inker(T), concluímos
ker(T)=span(1,0,1)

Passo 3

Para definir T, escolhemos uma base do domínio que contenha um gerador do núcleo e mais dois vetores que projetem à base da imagem. Seja
u=(1,0,1), v=(0,1,0), w=(0,0,1)
Aqui u gera ker(T) e v,w são independentes e não pertencem ao núcleo.

Passo 4

Definimos T sobre essa base da forma
T(u)=0, T(v)=(1,1,2,1), T(w)=(2,1,0,1)
Isso garante ker(T)=spanu e Im(T)=spanT(v),T(w).

Passo 5

Agora expressamos T na base canônica e1,e2,e3. Note que
u=e1+e3Longrightarrow T(e1)+T(e3)=T(u)=0
e escolhemos
T(e2)=T(v)=(1,1,2,1), T(e3)=T(w)=(2,1,0,1)
Logo
T(e1)=-T(e3)=(-2,-1,0,-1)
A matriz de T na base canônica é então
[T]= -2 & 1 & 2 -1 & 1 & 1 0 & 2 & 0 -1 & 1 & 1 ,
cuja coluna j é T(ej).

Resposta

Uma fórmula para T é
T(x,y,z)=l(-2x+y+2z,;-x+y+z,;2y,;-x+y+zr)
Verifica-se facilmente que Im(T)=span(1,1,2,1),(2,1,0,1) e (1,0,1)inker(T).

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