Exercício 12. Prove o Teorema da Representação de Riesz para espaços de dimensão finita, enunciado a seguir. Seja
um espaço vetorial de dimensão finita e com produto interno
. Dado
, mostre que existe único
tal que
Como consequência, equipando
com a norma de operadores do exercício anterior, prove que a aplicação
é uma isometria linear, isto é, é um isomorfismo entre os respectivos espaços vetoriais normados que satisfaz
.
Obs: Apesar de o Teorema da Representação de Riesz fornecer um isomorfismo
, este isomorfismo não é canônico, pois depende da estrutura de produto interno do espaço vetorial
. Em outras palavras, produtos internos diferentes geram isomorfismos diferentes, não havendo uma escolha que seja “mais natural” do que outras.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno
e que
é um funcional linear. Queremos mostrar duas coisas:
- Existe e é único um vetor
tal que
- A aplicação
é um isomorfismo linear e isométrico (isto é,
).
Para isso vamos usar um base ortonormal de e o lema de Cauchy–Schwarz.
Para isso vamos usar um base ortonormal de
Passo 2
(Existência usando base ortonormal)
Como , existe uma base ortonormal
. Defina
Como
Para todo
escrevemos
. Então, pela linearidade de
e ortonormalidade da base,
Logo esse
satisfaz
.
Passo 3
(Unicidade)
Se também existisse tal que
para todo
, então
Se também existisse
Em particular, tomando
vem
, ou seja
. Portanto
.
Passo 4
(Linearidade de
)
Sejam com
. Então para todo
Sejam
Pela unicidade do vetor associado conclui-se
. Analogamente
. Logo
é linear.
Passo 5
(Isometria:
)
Por definição
Por definição
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz
logo
. Por outro lado, se
tomamos
e obtemos
o que faz a supremum valer exatamente
. Se
então
e
. Assim
, provando que
preserva normas.
Resposta
Mostramos que para cada
existe único
com
, e que a aplicação
é linear, bijetora e satisfaz
. Portanto
é um isomorfismo linear isométrico entre
e
.