Exercício 12. Prove o Teorema da Representação de Riesz para espaços de dimensão finita, enunciado a seguir. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e com produto interno lang<=cdot, cdotrang<=. Dado ell in V^*, mostre que existe único w in V tal que
ell(v)=lang<= v, wrang<= para todo v in V
Como consequência, equipando V^* com a norma de operadores do exercício anterior, prove que a aplicação
Phi: V^* & longrightarrow V ell & longmapsto w
é uma isometria linear, isto é, é um isomorfismo entre os respectivos espaços vetoriais normados que satisfaz |ell|=|w|.
Obs: Apesar de o Teorema da Representação de Riesz fornecer um isomorfismo V^* simeq V, este isomorfismo não é canônico, pois depende da estrutura de produto interno do espaço vetorial V. Em outras palavras, produtos internos diferentes geram isomorfismos diferentes, não havendo uma escolha que seja “mais natural” do que outras.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= e que ellin V^* é um funcional linear. Queremos mostrar duas coisas:
  1. Existe e é único um vetor win V tal que
ell(v)=lang<= v,wrang<= para todo vin V
  1. A aplicação
Phi:V^*to V, Phi(ell)=w
é um isomorfismo linear e isométrico (isto é, |ell|=|w|).
Para isso vamos usar um base ortonormal de V e o lema de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

(Existência usando base ortonormal)
Como dim V<infty, existe uma base ortonormal e1,dots,en. Defina
ai=ell(ei) e w=sumi=1^n ai,ei
Para todo vin V escrevemos v=sumi=1^n vi,ei. Então, pela linearidade de ell e ortonormalidade da base,
ell(v) =sumi=1^n vi,ell(ei) =sumi=1^n vi,ai =llang<=sumi=1^n vi,ei,, sumi=1^n ai,eirrang<= =lang<= v,wrang<=
Logo esse w satisfaz ell(v)=lang<= v,wrang<=.

Passo 3

(Unicidade)
Se também existisse w' tal que ell(v)=lang<= v,w'rang<= para todo v, então
lang<= v,w-w'rang<= =lang<= v,wrang<=-lang<= v,w'rang<= =ell(v)-ell(v)=0 forall,vin V
Em particular, tomando v=w-w' vem
lang<= w-w',w-w'rang<==0, ou seja w-w'=0. Portanto w'=w.

Passo 4

(Linearidade de Phi)
Sejam ell1,ell2in V^* com Phi(elli)=wi. Então para todo v
(ell1+ell2)(v) =ell1(v)+ell2(v) =lang<= v,w1rang<=+lang<= v,w2rang<= =lang<= v,w1+w2rang<=
Pela unicidade do vetor associado conclui-se Phi(ell1+ell2)=w1+w2. Analogamente Phi(alphaell1)=alpha w1. Logo Phi é linear.

Passo 5

(Isometria: |ell|=|w|)
Por definição
|ell| =supsubstackvin V|v|=1|ell(v)| =sup|v|=1|lang<= v,wrang<=|
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz
|lang<= v,wrang<=|<=|v|,|w|=|w| se |v|=1,
logo |ell|<=|w|. Por outro lado, se wneq0 tomamos v=w/|w| e obtemos
|ell(v)|=|lang<= w/|w|,wrang<=|=|w|,
o que faz a supremum valer exatamente |w|. Se w=0 então ell=0 e |ell|=0=|w|. Assim |ell|=|w|, provando que Phi preserva normas.

Resposta

Mostramos que para cada ellin V^* existe único win V com ell(v)=lang<= v,wrang<=, e que a aplicação Phi:V^*to V é linear, bijetora e satisfaz |ell|=|w|. Portanto Phi é um isomorfismo linear isométrico entre V^* e V.

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