Exercício 13. Prove que existe uma identificação
que é um isomorfismo canônico. Mais precisamente, mostre que
onde
é a transformação linear dada por
, é um isomorfismo de espaços vetoriais. Pela definição de
, podemos concluir que esta identificação é canônica (por quê?).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o espaço
das transformações lineares de
em
é isomorfo a
, via o mapa
Para isso vamos usar apenas definições de transformação linear, injetividade, sobrejetividade e o facto de
ser de dimensão 1.
Passo 2
Mostramos primeiro que, para cada
, o mapa
é linear. De fato, para quaisquer
e escalar
temos
Logo
.
Passo 3
Agora verificamos que
é linear como aplicação de
em
. Dados
e
, para todo
Portanto
e
, ou seja,
é um homomorfismo de espaços vetoriais.
Passo 4
Mostramos que
é injetiva. Se
for a transformação zero, então para todo
Em particular, tomando
obtemos
. Logo o único
com
é
, e
é injetiva.
Passo 5
Mostramos que
é sobrejetiva. Seja
qualquer. Como
é de dimensão 1,
é determinado por
. Defina
Então para todo
Logo
e
é sobrejetiva.
Passo 6
Concluímos que
é um isomorfismo de espaços vetoriais, pois é linear, injetivo e sobrejetivo. Assim existe uma identificação
Passo 7
A identificação é canônica porque não fizemos nenhuma escolha extra (como base em
); tudo se resume ao fato de
ter dimensão 1 e ao produto escalar
. Não há parâmetros ou convenções arbitrárias, logo a construção é totalmente natural.
Resposta
O mapa
é um isomorfismo canônico de espaços vetoriais.