Exercício 13. Prove que existe uma identificação L(R, R^m) simeq R^m que é um isomorfismo canônico. Mais precisamente, mostre que
Phi: R^m & longrightarrow L(R, R^m) x & longmapsto Phi(x)
onde Phi(x): R longrightarrow R^m é a transformação linear dada por Phi(x)(t):=t x, é um isomorfismo de espaços vetoriais. Pela definição de Phi, podemos concluir que esta identificação é canônica (por quê?).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o espaço L(R,R^m) das transformações lineares de R em R^m é isomorfo a R^m, via o mapa
Phi:R^mtoL(R,R^m), xmapstol(tmapsto t,xr)
Para isso vamos usar apenas definições de transformação linear, injetividade, sobrejetividade e o facto de R ser de dimensão 1.

Passo 2

Mostramos primeiro que, para cada xinR^m, o mapa
Phi(x):RtoR^m, tmapsto t,x
é linear. De fato, para quaisquer t1,t2inR e escalar alphainR temos
Phi(x)(t1+t2) =(t1+t2),x =t1x+t2x =Phi(x)(t1)+Phi(x)(t2),
Phi(x)(alpha,t1) =(alpha,t1),x =alpha,(t1x) =alpha,Phi(x)(t1)
Logo Phi(x)inL(R,R^m).

Passo 3

Agora verificamos que Phi é linear como aplicação de R^m em L(R,R^m). Dados x,yinR^m e alphainR, para todo tinR
Phi(x+y)(t) = t,(x+y) = t,x + t,y =l(Phi(x)+Phi(y)r)(t),
Phi(alpha x)(t) = t,(alpha x) = alpha,(t,x) =l(alpha,Phi(x)r)(t)
Portanto Phi(x+y)=Phi(x)+Phi(y) e Phi(alpha x)=alpha,Phi(x), ou seja, Phi é um homomorfismo de espaços vetoriais.

Passo 4

Mostramos que Phi é injetiva. Se Phi(x) for a transformação zero, então para todo tinR
Phi(x)(t)=t,x=0
Em particular, tomando t=1 obtemos x=Phi(x)(1)=0. Logo o único x com Phi(x)=0 é x=0, e Phi é injetiva.

Passo 5

Mostramos que Phi é sobrejetiva. Seja finL(R,R^m) qualquer. Como R é de dimensão 1, f é determinado por f(1). Defina
x := f(1)inR^m
Então para todo tinR
f(t)=f(tcdot1)=t,f(1)=t,x=Phi(x)(t)
Logo f=Phi(x) e Phi é sobrejetiva.

Passo 6

Concluímos que Phi é um isomorfismo de espaços vetoriais, pois é linear, injetivo e sobrejetivo. Assim existe uma identificação
L(R,R^m);simeq;R^m

Passo 7

A identificação é canônica porque não fizemos nenhuma escolha extra (como base em R^m); tudo se resume ao fato de R ter dimensão 1 e ao produto escalar t,x. Não há parâmetros ou convenções arbitrárias, logo a construção é totalmente natural.

Resposta

O mapa
Phi:R^mtoL(R,R^m), xmapstol(tmapsto t,xr)
é um isomorfismo canônico de espaços vetoriais.

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