Para cada uma das matrizes a seguir, encontre uma base para o espaço linha, uma base para o espaço coluna e uma base para o núcleo.
(cccc-3 & 1 & 3 & 4 1 & 2 & -1 & -2 -3 & 8 & 4 & 2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos, para a matriz
A = -3 & 1 & 3 & 4 1 & 2 & -1 & -2 -3 & 8 & 4 & 2 ,
uma base para o espaço linha de A, para o espaço coluna de A e para o núcleo de A. Vamos usar eliminação de Gauss para obter a forma escalonada, o que nos dará os pivôs e a dimensão de cada subespaço.

Passo 2

Aplicamos eliminação de Gauss em para identificar os pivôs:
Os pivôs estão nas colunas 1, 2 e 3, de modo que .

Passo 3

Para o espaço linha, uma base é dada pelas linhas não nulas da forma escalonada:
(1,,2,,-1,,-2), (0,,7,,0,,-2), (0,,0,,1,,0)

Passo 4

Para o espaço coluna, escolhemos as colunas originais de A correspondentes às colunas-pivô (1, 2 e 3). Assim, uma base é
-31-3, 128, 3-14

Passo 5

Para o núcleo, resolvemos A x=0 usando a forma escalonada. Chamando x=(x1,x2,x3,x4), das equações obtemos
x3=0, 7x2-2x4=0;Rightarrow;x2=tfrac27x4, x1+2x2-2x4=0;Rightarrow;x1=tfrac107x4
Tomando x4=t,
x = tl(tfrac107,,tfrac27,,0,,1r) = s,(10,,2,,0,,7),
onde s=t/7. Portanto o núcleo é de dimensão 1 e uma base é
(10,,2,,0,,7)^T

Resposta

Base do espaço linha:
(1,2,-1,-2),;(0,7,0,-2),;(0,0,1,0).
Base do espaço coluna:
l(-3,1,-3)^T,,(1,2,8)^T,,(3,-1,4)^Tr.
Base do núcleo:
(10,2,0,7)^T.

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