Exercício 14. Defina
B(R^n ; R^m)=B: R^n times R^n longrightarrow R^m ; B é bilinear é
e mostre que
Phi: L(R^n, L(R^n, R^m)) & longrightarrow B(R^n ; R^m) T & longmapsto Phi(T)[x, y]:=T(x)(y)
é um isomorfismo canônico de espaços vetoriais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação
Phi:Ll(R^n,L(R^n,R^m)r);longrightarrow;B(R^n;R^m)
definida por
Phi(T)[x,y];:=;T(x)(y)
é um isomorfismo de espaços vetoriais. Aqui o conteúdo envolvido é a teoria de espaços lineares e bilinearidade. Para provar que Phi é isomorfismo, precisamos mostrar que ela é bem-definida (isto é, Phi(T) é bilinear), linear, injetiva e sobrejetiva.

Passo 2

Mostramos primeiro que Phi(T) é, de fato, um elemento de B(R^n;R^m). Como TinL(R^n,L(R^n,R^m)), para cada x temos T(x)inL(R^n,R^m). Logo, para cada par (x,y) faz sentido definir Phi(T)[x,y]=T(x)(y). Agora, fixando y, a aplicação xmapsto T(x)(y) é a composição de duas aplicações lineares em x, assim é linear. De modo análogo, fixando x, a aplicação ymapsto T(x)(y) é linear pois T(x) é linear. Portanto Phi(T) é bilinear.

Passo 3

Verificamos que Phi é linear. Sejam T1,T2 em L(R^n,L(R^n,R^m)) e lambdainR. Então, para todo x,y,
Phi(T1+T2)[x,y] =l((T1+T2)(x)r)(y) =l(T1(x)+T2(x)r)(y) =T1(x)(y)+T2(x)(y) =Phi(T1)[x,y]+Phi(T2)[x,y],
e
Phi(lambda T1)[x,y] =l((lambda T1)(x)r)(y) =l(lambda,T1(x)r)(y) =lambda,T1(x)(y) =lambda,Phi(T1)[x,y]
Isso mostra que Phi(T1+T2)=Phi(T1)+Phi(T2) e Phi(lambda T1)=lambda,Phi(T1).

Passo 4

Mostramos que Phi é injetiva. Suponha Phi(T)=0 (forma bilinear nula). Então para todo x,y vale T(x)(y)=Phi(T)[x,y]=0. Fixando x, isto diz que a aplicação ymapsto T(x)(y) é a aplicação nula, ou seja T(x)=0 em L(R^n,R^m). Como isso vale para todo x, segue Tequiv0. Logo o núcleo de Phi é somente o operador nulo, e Phi é injetiva.

Passo 5

Mostramos que Phi é sobrejetiva. Dado qualquer BinB(R^n;R^m), definimos S:R^ntoL(R^n,R^m) pela
S(x);:;y;longmapsto;B(x,y)
Como B é bilinear, xmapsto S(x) é linear (cada S(x) é linear em y e varia linearmente em x). Assim SinL(R^n,L(R^n,R^m)). Além disso,
Phi(S)[x,y] =S(x)(y) =B(x,y),
ou seja Phi(S)=B. Isso mostra que Phi atinge todo B, logo é sobrejetiva.

Resposta

A aplicação Phi é linear, injetiva e sobrejetiva, logo é um isomorfismo canônico entre L(R^n,L(R^n,R^m)) e B(R^n;R^m).

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