Exercício 14. Defina
e mostre que
é um isomorfismo canônico de espaços vetoriais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a aplicação
definida por
é um isomorfismo de espaços vetoriais. Aqui o conteúdo envolvido é a teoria de espaços lineares e bilinearidade. Para provar que
é isomorfismo, precisamos mostrar que ela é bem-definida (isto é,
é bilinear), linear, injetiva e sobrejetiva.
Passo 2
Mostramos primeiro que
é, de fato, um elemento de
. Como
, para cada
temos
. Logo, para cada par
faz sentido definir
. Agora, fixando
, a aplicação
é a composição de duas aplicações lineares em
, assim é linear. De modo análogo, fixando
, a aplicação
é linear pois
é linear. Portanto
é bilinear.
Passo 3
Verificamos que
é linear. Sejam
em
e
. Então, para todo
,
e
Isso mostra que
e
.
Passo 4
Mostramos que
é injetiva. Suponha
(forma bilinear nula). Então para todo
vale
. Fixando
, isto diz que a aplicação
é a aplicação nula, ou seja
em
. Como isso vale para todo
, segue
. Logo o núcleo de
é somente o operador nulo, e
é injetiva.
Passo 5
Mostramos que
é sobrejetiva. Dado qualquer
, definimos
pela
Como
é bilinear,
é linear (cada
é linear em
e varia linearmente em
). Assim
. Além disso,
ou seja
. Isso mostra que
atinge todo
, logo é sobrejetiva.
Resposta
A aplicação
é linear, injetiva e sobrejetiva, logo é um isomorfismo canônico entre
e
.