Exercício 15. Seja
um espaço vetorial real de dimensão
e
o seu espaço dual. Dado um vetor
e um funcional linear (também dito um covetor)
, definimos a transformação linear
por
(i) Para
e
, prove que
tem posto um, isto é,
.
(ii) Fixada uma base
de
e
sua base dual, escrevemos
Mostre que a representação matricial de
na base
tem entradas
.
(iii) Mostre que
.
(iv) Para cada
e
, prove que
é diagonalizável. Além disso, determine uma base de autovetores e a matriz diagonal associada.
Dica: Olhar para Nuc
e algum subespaço complementar.
(v) Dada uma transformação linear qualquer
, mostre que
onde os coeficientes
são as entradas da matriz
associada à transformação
na base
. Além disso, prove que
Utilizamos notação
e, pelo último item acima, temos que
. Convêm mencionar que, mais adiante no curso, a notação tensorial é utilizada de maneira ligeiramente diferente, pois o espaço tensorial
é introduzido a partir de uma “propriedade universal”, a ser discutida no momento oportuno. No entanto, mesmo sem explicitar esta outra construção aqui neste exercício, adiantamos que a identificação
dada por
define um isomorfismo canônico. A identificação canônica acima é justamente a motivação da definição (5).