Seja V um espaço vetorial de dimensão n, e T: V longrightarrow V uma transformação linear tal que I(T)=N(T). Mostre que n é um número par.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão n e que T:Vto V é linear, com a propriedade
diml(ImTr);=;diml(ker Tr)
O que precisamos usar aqui é o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity), que relaciona a dimensão da imagem e do núcleo de T com a dimensão de V.

Passo 2

Pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema da Dimensão do Núcleo e Imagem), sabemos que
diml(ImTr);+;diml(ker Tr);=;dim V;=;n

Passo 3

Como o enunciado dá a igualdade
diml(ImTr);=;diml(ker Tr),
podemos chamar esse valor comum de k. Assim,
diml(ImTr)=k e diml(ker Tr)=k

Passo 4

Substituindo na relação do Teorema da Dimensão, obtemos
k + k ;=; n Longrightarrow 2k ;=; n

Passo 5

Como n=2k, n é múltiplo de 2, ou seja, n é par.

Resposta

n é par, pois n=2k para algum inteiro k.

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