Para cada uma das matrizes simétricas
dadas, encontre seus autovalores, um conjunto ortogonal máximo
de autovetores e uma matriz ortogonal
tal que
seja diagonal.
Passo 1
O enunciado pede a diagonalização espectral de
que é simétrica. Pelos teoremas de matrizes simétricas, sabemos que existem autovalores reais, autovetores ortogonais e uma matriz ortogonal
tal que
é diagonal.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
:
Expandindo (por exemplo, pela primeira linha) obtém-se
Simplificando surge
ou seja
Logo os autovalores são
Passo 3
Para
resolvemos
:
implica
. Um autovetor correspondente é
Normalizando:
Passo 4
Para
resolvemos
:
que impõe
. A dimensão do espaço próprio é 2. Escolhemos dois vetores independentes e ortonormais:
Aplicando Gram–Schmidt e normalizando obtemos
Passo 5
Definimos a matriz ortogonal
cujas colunas são
:
Como
é ortogonal,
, e
Resposta
Os autovalores são
. Um conjunto ortogonal máximo de autovetores é
A matriz ortogonal que diagonaliza
é
e o resultado da diagonalização é