Para cada uma das matrizes simétricas B dadas, encontre seus autovalores, um conjunto ortogonal máximo S de autovetores e uma matriz ortogonal P tal que D=P^{-1} B P seja diagonal.
B=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização espectral de
B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},
que é simétrica. Pelos teoremas de matrizes simétricas, sabemos que existem autovalores reais, autovetores ortogonais e uma matriz ortogonal P tal que
D = P^{-1}BP
é diagonal.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de B:
\det(B - \lambda I) =\det\begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 1\\\\ 1 & -\lambda & 1\\\\ 1 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo (por exemplo, pela primeira linha) obtém-se
-\lambda\bigl((-\lambda)^2-1\bigr)-1\bigl(1\cdot(-\lambda)-1\cdot1\bigr)+1\bigl(1\cdot1-(-\lambda)\cdot1\bigr) =-\lambda(\lambda^2-1)-(-\lambda-1)+(1+\lambda).
Simplificando surge
-\lambda^3+\lambda +\lambda+1+1+\lambda =-\lambda^3+3\lambda+2
ou seja
\det(B-\lambda I) = -(\lambda-2)(\lambda+1)^2.
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 2 \quad\text{e}\quad \lambda_2 = \lambda_3 = -1.

Passo 3

Para \lambda_1=2 resolvemos (B-2I)x=0:
\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \!\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}
implica x=y=z. Um autovetor correspondente é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Normalizando:
u_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \lambda=-1 resolvemos (B+I)x=0:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \!\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}
que impõe x+y+z=0. A dimensão do espaço próprio é 2. Escolhemos dois vetores independentes e ortonormais:
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_3 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}.
Aplicando Gram–Schmidt e normalizando obtemos
u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},\quad u_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 5

Definimos a matriz ortogonal P cujas colunas são \{u_1,u_2,u_3\}:
P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.
Como P é ortogonal, P^{-1}=P^T, e
D = P^{-1}BP = P^T B P =\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.]

Resposta

Os autovalores são \{2,-1,-1\}. Um conjunto ortogonal máximo de autovetores é
S = \left\{ u_1=\frac1{\sqrt3}(1,1,1)^T,\; u_2=\frac1{\sqrt2}(1,-1,0)^T,\; u_3=\frac1{\sqrt6}(1,1,-2)^T \right\}.
A matriz ortogonal que diagonaliza B é
P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix},
e o resultado da diagonalização é
D = P^{-1} B P = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

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