Encontre os polinômios característico e mínimo de cada uma das matrizes dadas. B=\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & -1 \\\\ 3 & 8 & -3 \\\\ 3 & 6 & -1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede o polinômio característico e o polinômio mínimo da matriz
Vamos primeiro calcular o determinante de \lambda I - B para obter o polinômio característico e, em seguida, analisar as multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores para encontrar o polinômio mínimo.
\det(\lambda I - B) =(\lambda-3)\det\begin{pmatrix}\lambda-8&3\\\ -6&\lambda+1\end{pmatrix} -(-2)\det\begin{pmatrix}-3&3\\\ -3&\lambda+1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}-3&\lambda-8\\\ -3&-6\end{pmatrix}.
as duas últimas linhas são múltiplos da primeira, logo \rank(B-2I)=1 e \dim\ker(B-2I)=3-1=2. Como a multiplicidade algébrica de \lambda=2 é 2 e a geométrica também é 2, não há bloco de Jordan de tamanho maior que 1 para esse autovalor. Concluímos que o polinômio mínimo elimina cada fator linear apenas na primeira potência.