Encontre os polinômios característico e mínimo de cada uma das matrizes dadas.
B=\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & -1 \\\\ 3 & 8 & -3 \\\\ 3 & 6 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico e o polinômio mínimo da matriz
B=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -1\\\\ 3 & 8 & -3\\\\ 3 & 6 & -1 \end{pmatrix}.
Vamos primeiro calcular o determinante de \lambda I - B para obter o polinômio característico e, em seguida, analisar as multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores para encontrar o polinômio mínimo.

Passo 2

Escrevemos \lambda I - B:
\lambda I - B =\begin{pmatrix} \lambda-3 & -2 & 1\\\\ -3 & \lambda-8 & 3\\\\ -3 & -6 & \lambda+1 \end{pmatrix}.
O determinante é
\det(\lambda I - B) =(\lambda-3)\det\begin{pmatrix}\lambda-8&3\\\ -6&\lambda+1\end{pmatrix} -(-2)\det\begin{pmatrix}-3&3\\\ -3&\lambda+1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}-3&\lambda-8\\\ -3&-6\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculando cada termo:
\det\begin{pmatrix}\lambda-8&3\\\ -6&\lambda+1\end{pmatrix} =(\lambda-8)(\lambda+1)+18 =\lambda^2-7\lambda+10,
-(-2)\det\begin{pmatrix}-3&3\\\ -3&\lambda+1\end{pmatrix} =2\bigl(-3(\lambda+1)+9\bigr) =2(-3\lambda+6)=-6\lambda+12,
\det\begin{pmatrix}-3&\lambda-8\\\ -3&-6\end{pmatrix} =18+3(\lambda-8)=3\lambda-6.
Somando tudo:
\det(\lambda I - B) =(\lambda-3)(\lambda^2-7\lambda+10)-6\lambda+12+3\lambda-6 =\lambda^3-10\lambda^2+28\lambda-24.
Fatorando este polinômio:
\lambda^3-10\lambda^2+28\lambda-24 =(\lambda-2)^2(\lambda-6).

Passo 4

Para o polinômio mínimo precisamos saber se o fator (\lambda-2) aparece em grau 1 ou 2. Calculamos a dimensão do espaço próprio de \lambda=2:
B-2I =\begin{pmatrix} 1&2&-1\\\ 3&6&-3\\\ 3&6&-3 \end{pmatrix},
as duas últimas linhas são múltiplos da primeira, logo \rank(B-2I)=1 e \dim\ker(B-2I)=3-1=2. Como a multiplicidade algébrica de \lambda=2 é 2 e a geométrica também é 2, não há bloco de Jordan de tamanho maior que 1 para esse autovalor. Concluímos que o polinômio mínimo elimina cada fator linear apenas na primeira potência.

Resposta

O polinômio característico é
p_B(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda-6),
e o polinômio mínimo é
m_B(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-6).

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