Para cada uma das matrizes dadas, encontre todos os autovalores e um conjunto S máximo de autovetores linearmente independentes.
C=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 2 \\\\ 1 & 2 & -1 \\\\ -1 & 1 & 4\end{array}\right]
Quais matrizes podem ser diagonalizadas, e por quê?

Passo 1

O enunciado pede para a matriz
C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\\\ 1 & 2 & -1\\\\ -1 & 1 & 4 \end{pmatrix}
encontrar todos os autovalores \lambda e um conjunto S máximo de autovetores linearmente independentes. Em seguida, concluir se C é diagonalizável. O conteúdo usado será o cálculo do polinômio característico, determinação das multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor, e o critério de diagonalização (ter uma base de autovetores).

Passo 2

Formamos C - \lambda I e calculamos
\det(C - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 2\\\\ 1 & 2-\lambda & -1\\\\ -1 & 1 & 4-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha obtém-se
\det(C - \lambda I) =(1-\lambda)\bigl((2-\lambda)(4-\lambda)+1\bigr) -2\bigl(1\cdot(4-\lambda)-(-1)\bigr) +2\bigl(1\cdot1-(2-\lambda)(-1)\bigr).
As últimas duas parcelas cancelam, sobrando
\det(C - \lambda I) =(1-\lambda)\bigl(\lambda^2-6\lambda+9\bigr) =(1-\lambda)(\lambda-3)^2.

Passo 3

Do fatoramento (1-\lambda)(\lambda-3)^2=0 segue que os autovalores são
\lambda_1 = 1\quad(\text{multiplicidade algébrica }1), \qquad \lambda_2 = 3\quad(\text{multiplicidade algébrica }2).éé

Passo 4

Para \lambda_1=1 resolvemos (C-I)v=0, isto é
\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2\\\\ 1 & 1 & -1\\\\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
As equações reduzem-se a y+z=0 e x=z-y. Tomando y=1 z=-1 e x=-2. Logo um autovetor é
v_1 = \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_2=3 resolvemos (C-3I)v=0, isto é
\begin{pmatrix} -2 & 2 & 2\\\\ 1 & -1 & -1\\\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0,
que reduz-se a x=y+z. Assim os vetores
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \qquad v_3 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}
formam base do espaço próprio de \lambda=3 (dimensão geométrica 2).

Passo 6

Temos no total 3 autovetores v_1,v_2,v_3 linearmente independentes em \mathbb R^3. Como a soma das dimensões geométricas é 1+2=3 (igual à ordem da matriz), C admite acabamento de autovetores e, portanto, é diagonalizável.

Resposta

Autovalores: \lambda_1=1 (m.a. =1), \lambda_2=3 (m.a. =2).
Autovetores independentes:
v_1=(-2,1,-1)^T,\quad v_2=(1,1,0)^T,\quad v_3=(1,0,1)^T.
A matriz C pode ser diagonalizada porque possui 3 autovetores independentes (as multiplicidades geométrica e algébrica coincidem para cada autovalor).

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