9.53 Seja v um autovetor de um operador linear T associado ao autovalor \lambda. Demonstre.
(a) Para n>0, v é um autovetor de T^{n} associado a \grave{\lambda}^{n}.
(b) f(\lambda) é um autovetor de f(T), para qualquer polinômio f(t).

Passo 1

O enunciado diz que temos um operador linear T em um espaço vetorial (sobre um corpo) e um vetor não-nulo v tais que
T(v)=\lambda\,v,
isto é, v é autovetor de T com autovalor \lambda. Precisamos demonstrar dois fatos:
(a) para todo inteiro n>0, v é autovetor de T^n associado a \lambda^n;
(b) para qualquer polinômio
f(t)=a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + \cdots + a_m t^m, v é autovetor de f(T) associado a f(\lambda). Vamos usar indução em n e a definição de polinômio de operador.

Passo 2

Prova de (a) por indução sobre n:
  • Caso base n=1: temos T^1(v)=T(v)=\lambda\,v, ok.
  • Passo indutivo: suponha que para certo k\ge1 valha T^k(v)=\lambda^k v. Então
T^{k+1}(v)\;=\;T\bigl(T^k(v)\bigr)\;=\;T\bigl(\lambda^k v\bigr) \;=\;\lambda^k\,T(v) \;=\;\lambda^k\bigl(\lambda\,v\bigr) \;=\;\lambda^{k+1}v.
Logo, por indução, para todo n>0 vale
T^n(v)=\lambda^n v,
ou seja, v é autovetor de T^n com autovalor \lambda^n.

Passo 3

Prova de (b) usando a forma polinomial de f e a linearidade de T:
f(T)\;=\;a_0 I + a_1 T + a_2 T^2 + \cdots + a_m T^m.
Aplicando em v e usando o resultado de (a):
f(T)(v) = a_0\,I(v) + a_1\,T(v) + a_2\,T^2(v) + \cdots + a_m\,T^m(v) = a_0 v + a_1(\lambda v) + a_2(\lambda^2 v) + \cdots + a_m(\lambda^m v)
\quad = \bigl(a_0 + a_1\lambda + a_2\lambda^2 + \cdots + a_m\lambda^m\bigr)\,v = f(\lambda)\,v.
Isso mostra que v é autovetor de f(T) com autovalor f(\lambda).

Resposta

Para todo inteiro n>0,
T^n(v)=\lambda^n v,
e para qualquer polinômio f,
f(T)(v)=f(\lambda)\,v.
Ou seja, v é autovetor de T^n associado a \lambda^n e autovetor de f(T) associado a f(\lambda).

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