9.53 Seja
um autovetor de um operador linear
associado ao autovalor
. Demonstre.
(a) Para
é um autovetor de
associado a
.
(b)
é um autovetor de
, para qualquer polinômio
.
(a) Para
(b)
Passo 1
O enunciado diz que temos um operador linear
em um espaço vetorial (sobre um corpo) e um vetor não-nulo
tais que
isto é,
é autovetor de
com autovalor
. Precisamos demonstrar dois fatos:
(a) para todo inteiro ,
é autovetor de
associado a
;
(b) para qualquer polinômio
(a) para todo inteiro
(b) para qualquer polinômio
Passo 2
Prova de (a) por indução sobre
:
- Caso base
: temos , ok. - Passo indutivo: suponha que para certo
valha . Então
Logo, por indução, para todo
vale
ou seja,
é autovetor de
com autovalor
.
Passo 3
Prova de (b) usando a forma polinomial de
e a linearidade de
:
Aplicando em
e usando o resultado de (a):
Isso mostra que
é autovetor de
com autovalor
.
Resposta
Para todo inteiro
,
e para qualquer polinômio
,
Ou seja,
é autovetor de
associado a
e autovetor de
associado a
.