A mola de uma arma de mola é comprimida de uma distância
a partir de sua posição de equilíbrio, e uma esfera de massa
é colocada no cano. Qual será a velocidade com que a esfera deixará o cano quando a arma disparar? A mola possui constante elástica
. Admita que não há atrito e que o cano da arma está na horizontal.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pergunta: qual será a velocidade com que a esfera deixará o cano quando a arma disparar?
- Dados fornecidos:
- Compressão da mola:
. - Massa da esfera:
. - Constante elástica da mola:
.
- Compressão da mola:
- Condições: não há atrito e o cano está na horizontal (portanto não há variação de energia potencial gravitacional relevante).
- Observação importante: todos os números usados nas contas serão convertidos para unidades SI antes de aplicar fórmulas.
Passo 2
Conversão das unidades para o Sistema SI (m, kg, N/m):
- Converter comprimento:
. - Converter massa:
. - Converter constante elástica:
. Como , temos
Passo 3
Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
- Como não há atrito, a energia mecânica é conservada: a energia armazenada na mola (energia potencial elástica) transforma-se em energia cinética da esfera quando ela sai do cano.
- Energia potencial elástica de uma mola linear (Lei de Hooke): para uma mola com constante
comprimida/esticada de uma distância a partir da posição de equilíbrio, a energia armazenada é onde tem unidade e em metros; o resultado fica em joules. - Energia cinética de um corpo de massa
movendo-se com velocidade : - Pela conservação de energia (toda a energia da mola passa para a esfera),
Passo 4
Isolando a velocidade
da equação de conservação de energia (passo algébrico explicado devagar):
- Começamos com
- Podemos multiplicar ambos os lados por
para eliminar os meios: - Isolando
: - Tomando a raiz quadrada (tomar raiz positiva porque velocidade escalar aqui é positiva):
Essa fórmula é muito útil: ela mostra que a velocidade é proporcional à compressão e cresce com e decresce com . Intuição: mola mais rígida ou compressão maior → mais energia → maior ; massa maior → mesma energia dá velocidade menor.
Passo 5
Substituição numérica (vou fazer passo a passo para você poder acompanhar as contas sem calculadora complexa):
- Já temos
, , . - Calcular o fator dentro da raiz:
Fazer a divisão: , então . - Então
Passo 6
Avaliação da raiz e multiplicação por
:
- Calcular
. Podemos reescrever , então . - Sabendo que
, temos . - Agora multiplicar por
: Fazer a multiplicação: .
Passo 7
Arredondamento e interpretação final:
- Aproximando razoavelmente (duas casas decimais) obtemos
- Interpretação física rápida: a energia armazenada na mola era
. Essa energia toda virou energia cinética da esfera, que com resulta nessa velocidade de cerca de . Está coerente: energia pequena (menos de 1 J) e massa pequena produzem velocidade moderada.