A mola de uma arma de mola é comprimida de uma distância \mathrm{d}=3,6 \mathrm{~cm} a partir de sua posição de equilíbrio, e uma esfera de massa \mathrm{m}=14 \mathrm{~g} é colocada no cano. Qual será a velocidade com que a esfera deixará o cano quando a arma disparar? A mola possui constante elástica \mathrm{k}=7,0 \mathrm{N} / \mathrm{cm}. Admita que não há atrito e que o cano da arma está na horizontal.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pergunta: qual será a velocidade com que a esfera deixará o cano quando a arma disparar?
  • Dados fornecidos:
    • Compressão da mola: d=3,6\\ \text{cm}.
    • Massa da esfera: m=14\\ \text{g}.
    • Constante elástica da mola: k=7,0\\ \text{N/cm}.
  • Condições: não há atrito e o cano está na horizontal (portanto não há variação de energia potencial gravitacional relevante).
  • Observação importante: todos os números usados nas contas serão convertidos para unidades SI antes de aplicar fórmulas.

Passo 2

Conversão das unidades para o Sistema SI (m, kg, N/m):
  • Converter comprimento: d=3,6\\ \text{cm} = 0,036\\ \text{m}.
  • Converter massa: m=14\\ \text{g} = 0,014\\ \text{kg}.
  • Converter constante elástica: k=7,0\\ \text{N/cm}. Como 1\\ \text{N/cm}=100\\ \text{N/m}, temos k = 7{,}0\\ \text{N/cm} = 7{,}0\times100 = 700\\ \text{N/m}.

Passo 3

Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
  • Como não há atrito, a energia mecânica é conservada: a energia armazenada na mola (energia potencial elástica) transforma-se em energia cinética da esfera quando ela sai do cano.
  • Energia potencial elástica de uma mola linear (Lei de Hooke): para uma mola com constante k comprimida/esticada de uma distância x a partir da posição de equilíbrio, a energia armazenada é E_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2}k x^{2},onde k tem unidade \text{N/m} e x em metros; o resultado fica em joules.
  • Energia cinética de um corpo de massa m movendo-se com velocidade v: E_{\text{cin}}=\tfrac{1}{2}m v^{2}.
  • Pela conservação de energia (toda a energia da mola passa para a esfera), \tfrac{1}{2}k d^{2}=\tfrac{1}{2}m v^{2}.

Passo 4

Isolando a velocidade v da equação de conservação de energia (passo algébrico explicado devagar):
  • Começamos com \tfrac{1}{2}k d^{2}=\tfrac{1}{2}m v^{2}.
  • Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para eliminar os meios: k d^{2}=m v^{2}.
  • Isolando v^{2}: v^{2}=\frac{k d^{2}}{m}.
  • Tomando a raiz quadrada (tomar raiz positiva porque velocidade escalar aqui é positiva): v=d\sqrt{\frac{k}{m}}.Essa fórmula é muito útil: ela mostra que a velocidade é proporcional à compressão d e cresce com \sqrt{k} e decresce com \sqrt{m}. Intuição: mola mais rígida ou compressão maior → mais energia → maior v; massa maior → mesma energia dá velocidade menor.

Passo 5

Substituição numérica (vou fazer passo a passo para você poder acompanhar as contas sem calculadora complexa):
  • Já temos d=0,036\\ \text{m}, k=700\\ \text{N/m}, m=0,014\\ \text{kg}.
  • Calcular o fator dentro da raiz: \frac{k}{m}=\frac{700}{0,014}.Fazer a divisão: 0,014=14\times10^{-3}, então \dfrac{700}{0,014}=\dfrac{700}{14\times10^{-3}}=\dfrac{700}{14}\times10^{3}=50\times10^{3}=50\,000.
  • Então \sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{50\,000}.

Passo 6

Avaliação da raiz e multiplicação por d:
  • Calcular \sqrt{50\,000}. Podemos reescrever 50\,000=5\times10^{4}, então \sqrt{50\,000}=\sqrt{5}\times10^{2}.
  • Sabendo que \sqrt{5}\approx2{,}2360679, temos \sqrt{50\,000}\approx2{,}2360679\times100=223{,}60679.
  • Agora multiplicar por d: v=d\sqrt{\frac{k}{m}}=0,036\times223{,}60679\ldotsFazer a multiplicação: 223{,}60679\times0,036 \approx 8{,}0498\\ \text{m/s}.

Passo 7

Arredondamento e interpretação final:
  • Aproximando razoavelmente (duas casas decimais) obtemos v\approx8{,}05\\ \text{m/s}.
  • Interpretação física rápida: a energia armazenada na mola era E=\tfrac{1}{2}k d^{2}= \tfrac{1}{2}\times700\times(0,036)^{2}\approx0,4536\\ \text{J}. Essa energia toda virou energia cinética da esfera, que com m=0,014\\ \text{kg} resulta nessa velocidade de cerca de 8\\ \text{m/s}. Está coerente: energia pequena (menos de 1 J) e massa pequena produzem velocidade moderada.

Resposta

v\approx8{,}05\\ \text{m/s}

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