Para cada um dos modelos abaixo determinar a f.g.m, E(X) e V A R(X): X sim Poisson(lambda)

Passo 1

Beleza, o exercício pede, para , a f.g.m. (função geradora de momentos), a esperança e a variância . Isso é probabilidade de variável discreta, usando a definição de f.g.m.
O que vamos precisar:
  1. A pmf da Poisson: .
  2. Definição de f.g.m.: .
  3. Propriedade de séries (soma da série de potências de ).
  4. Saber que e .

Passo 2

Vamos achar a f.g.m.
Por definição,
MX(t)=El(e^tXr) =sumk=0^inftye^t kP(X=k) =sumk=0^inftye^t k,e^-lambdalambda^kk! =e^-lambdasumk=0^infty(lambda e^t)^kk!
Agora usamos que MX(t) =e^-lambda;e^lambda e^t =expl(lambda(e^t-1)r) . Então, com ,

Passo 3

Cálculo de M'X(t) =expl(lambda(e^t-1)r)timesddtl[lambda(e^t-1)r] =expl(lambda(e^t-1)r)timeslambda e^t .
Primeiro derivamos M'X(0) =expl(lambda(e^0-1)r)timeslambda e^0 =exp(0)timeslambdacdot1 =lambda :
Agora avaliamos em :
Logo .

Passo 4

Cálculo de M''X(t) =ddtl[lambda e^texp(lambda(e^t-1))r] =lambda e^texp(lambda(e^t-1))l(1+lambda e^tr) .
Derivamos de novo M''X(0) =lambdacdot1cdot e^0,l(1+lambdacdot1r) =lambda(1+lambda) =lambda+lambda^2 :
Var(X) = M''X(0)-[M'X(0)]^2 =(lambda+lambda^2)-lambda^2 =lambda
Em :
Então

Resposta

f.g.m.:

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