Para cada um dos modelos abaixo determinar a f.g.m, E(X) e V A R(X): X sim Binomial(n, p)

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos uma variável aleatória X sim Binomial(n,p) que segue uma distribuição Binomial com parâmetros e , ou seja
O que ele pede é:
  1. A f.g.m (função geradora de momentos) ,
  2. A esperança ,
  3. A variância .
Para isso, vamos usar a definição do pmf da Binomial e as propriedades de derivação da f.g.m.

Passo 2

Definimos primeiro a massa de probabilidade da Binomial:
P(X=k)=binomnk,p^k,(1-p)^,n-k, k=0,1,dots,n
A f.g.m é
MX(t)=El(e^tXr) =sumk=0^n e^t k,binomnkp^k(1-p)^n-k
Repare que isso é a soma da forma
MX(t) = l(1-p + p,e^tr)^n ,
que, pela expansão binomial, dá

Passo 3

Para achar a esperança usamos a propriedade
E(X)=M'X(0)
Vamos derivar
MX(t)=(1-p+p,e^t)^n ;;Longrightarrow;; M'X(t) =n,(1-p+p,e^t)^,n-1cdot p,e^t
Então
E(X)=M'X(0) =n,(1-p+pcdot1)^,n-1,pcdot1 =n,p

Passo 4

Agora a variância. Primeiro precisamos de
E(X^2)=M''X(0)
Derivando de novo
M''X(t) =ddtl[n,p,e^t,(!1-p+p,e^t)^n-1r] =n,p,e^t,(1-p+p,e^t)^n-1 + n,p,e^t,(n-1),(1-p+p,e^t)^n-2,p,e^t
Avalia em M''X(0) =n,p,[1]^,n-1 + n,(n-1),p^2,[1]^,n-2 = n,p + n(n-1),p^2 (onde Var(X) =l(n,p + n(n-1)p^2r)-l(n,pr)^2 =n,p + n(n-1)p^2 - n^2p^2 =n,p,(1-p) e ):
Como , temos

Resposta

f.g.m:
E(X):
Var(X):

Exercícios relacionados