Para cada um dos modelos abaixo determinar a f.g.m,
e
:
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos uma variável aleatória
que segue uma distribuição Binomial com parâmetros
e
, ou seja
O que ele pede é:
- A f.g.m (função geradora de momentos)
, - A esperança
, - A variância
.
Para isso, vamos usar a definição do pmf da Binomial e as propriedades de derivação da f.g.m.
Passo 2
Definimos primeiro a massa de probabilidade da Binomial:
A f.g.m é
Repare que isso é a soma da forma
,
que, pela expansão binomial, dá
que, pela expansão binomial, dá
Passo 3
Para achar a esperança usamos a propriedade
Vamos derivar
Então
Passo 4
Agora a variância. Primeiro precisamos de
Derivando de novo
Avalia em
(onde
e
):
Como
, temos
Resposta
f.g.m:
E(X):
Var(X):
E(X):
Var(X):