Para cada um dos modelos abaixo determinar a f.g.m, E(X) e V A R(X): X sim Geo(p) (2 casos vistos em aula)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para cada uma das duas versões da distribuição geométrica (a que conta o número de tentativas até o sucesso, isto é, MX(t)=El[e^tXr]=sumk e^tkP(X=k) , e a que conta o número de falhas até o sucesso, isto é, E(X)=MX'(0), Var(X)=MX''(0)-l[MX'(0)r]^2 ) determinar:
  • A função geradora de momentos (fgm)
  • A esperança
  • A variância
Para isso vamos usar:
  1. A definição da fgm:
  1. As fórmulas
  1. A soma da série geométrica quando .

Passo 2

Caso 1: com MX(t) =sumk=1^infty e^tk,p(1-p)^,k-1 =p,e^tsumk=1^inftyl((1-p)e^tr)^,k-1 =p,e^t1-(1-p)e^t,, , .
Então
válido para .

Passo 3

Ainda no Caso 1, computamos
Fazendo as derivadas e avaliando em E(X)=MX'(0), Var(X)=MX''(0)-[MX'(0)]^2 (pode confiar no cálculo ou fazer passo a passo), chega-se a

Passo 4

Caso 2: contando quantas falhas antes do sucesso,
P(X=k)=(1-p)^k,p, k=0,1,2,dots
A fgm é
MX(t) =sumk=0^infty e^tk(1-p)^k,p =psumk=0^inftyl((1-p)e^tr)^k =p1-(1-p)e^t,,
para .

Passo 5

No Caso 2, de novo
Fazendo as contas, obtém-se

Resposta

Caso 1 ( MX(t)=p,e^t1-(1-p)e^t, E(X)=1p, Var(X)=1-pp^2 ):
Caso 2 ( MX(t)=p1-(1-p)e^t, E(X)=1-pp, Var(X)=1-pp^2 ):

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