Sejam X e Y duas V.A.s independentes tendo distribuição geométrica com parâmetros p1 e p2 respectivamente.
Obtenha:
© min (X, Y)

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias independentes X e Y, cada uma seguindo uma distribuição geométrica com parâmetros p₁ e p₂ (ou seja, P(X=k) = (1–p₁)^{k–1} p₁ e P(Y=k) = (1–p₂)^{k–1} p₂, para k=1,2,…). O que a gente quer é a distribuição de Z = min(X,Y), ou seja, o menor valor entre X e Y. Para resolver isso, vamos usar a ideia básica de Probabilidade de cauda (P(Z>k)) e da independência, sem pular passos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar pra P(Z > k). A ideia é: “Z é maior que k” significa “tanto X quanto Y são maiores que k”.
Como X e Y são independentes,
P(Z > k) = P(X > k ;e; Y > k) = P(X > k),P(Y > k)
E a gente sabe que, para uma geométrica com parâmetro p,
P(X > k) = sumj=k+1^infty(1p)^j-1p = (1p)^k
Logo,
P(Z > k) = (1p1)^k,(1p2)^k = l((1p1)(1p2)r)^k

Passo 3

Agora, para achar P(Z = k), usamos a relação entre a cauda e o PMF:
P(Z = k) = P(Z > k-1) - P(Z > k)
Substituindo o que achamos:
P(Z = k) = l((1p1)(1p2)r)^,k-1 ;-;l((1p1)(1p2)r)^,k
Fatorando P(Z = k) = l((1p1)(1p2)r)^,k-1l[1 - (1p1)(1p2)r] ^{,k-1}, fica
P(Z = k) = l((1p1)(1p2)r)^,k-1,(p1 + p2 - p1 p2), k = 1,2,dots
Mas . Então

Resposta

Portanto, p = p1 + p2 - p1 p2, também é geométrica, com parâmetro
Pl(min(X,Y)=kr) = l((1-p1)(1-p2)r)^,k-1,(p1 + p2 - p1 p2)
ou seja,

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