Sejam
e
duas V.A.s independentes tendo distribuição geométrica com parâmetros
e
respectivamente.
Obtenha:
©
Obtenha:
©
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias independentes X e Y, cada uma seguindo uma distribuição geométrica com parâmetros p₁ e p₂ (ou seja, P(X=k) = (1–p₁)^{k–1} p₁ e P(Y=k) = (1–p₂)^{k–1} p₂, para k=1,2,…). O que a gente quer é a distribuição de Z = min(X,Y), ou seja, o menor valor entre X e Y. Para resolver isso, vamos usar a ideia básica de Probabilidade de cauda (P(Z>k)) e da independência, sem pular passos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar pra P(Z > k). A ideia é: “Z é maior que k” significa “tanto X quanto Y são maiores que k”.
Como X e Y são independentes,
Como X e Y são independentes,
E a gente sabe que, para uma geométrica com parâmetro p,
Logo,
Passo 3
Agora, para achar P(Z = k), usamos a relação entre a cauda e o PMF:
Substituindo o que achamos:
Fatorando
^{,k-1}, fica
Mas
. Então
Resposta
Portanto,
também é geométrica, com parâmetro
ou seja,