Para cada uma das moléculas ou íons indicados abaixo: a) Identifique todas as operações de simetria;
b) Especifique os eixos x, y e z; c) Determine o grupo de pontos da molécula ou íon (ver respostas ao final da lista).
trans-1,2-dicloroetileno

Passo 1

O enunciado pede:
a) Identificar todas as operações de simetria da molécula/íon;
b) Especificar os eixos x, y e z;
c) Determinar o grupo de pontos.
Informações relevantes dadas (implícitas no nome da molécula): trans-1,2-dicloroetileno é a molécula com dois átomos de carbono ligados por uma dupla ligação C=C, cada carbono ligado a um \text{Cl} e a um \text{H}; em configuração “trans” os dois átomos de \text{Cl} ficam em lados opostos da dupla ligação. A molécula é planar (todos os átomos no mesmo plano).

Passo 2

Para facilitar a visualização, vamos colocar um sistema de coordenadas e atribuir posições geométricas simples aos átomos (isso não exige valores numéricos, só orienta as simetrias). Colocamos o ponto médio da ligação dupla no início das coordenadas. Definimos:
\;x-eixo ao longo da ligação C=C (da direita para a esquerda),
\;y-eixo no plano molecular e perpendicular a x (apontando, por convenção, na direção do cloro no carbono à direita),
\;z-eixo perpendicular ao plano molecular (positivo saindo do plano).
Posições esquemáticas (todos os z=0 porque a molécula é plana):
\text{C}_1:\\ (+a,0,0),\qquad \text{C}_2:\\ (-a,0,0),
\text{Cl}_1:\\ (+a,+b,0),\qquad \text{H}_1:\\ (+a,-b,0),
\text{Cl}_2:\\ (-a,-b,0),\qquad \text{H}_2:\\ (-a,+b,0),
com a>0,\; b>0. Essa escolha reflete a configuração trans: o \text{Cl}_1 está “para cima” em C_1 e \text{Cl}_2 está “para baixo” em C_2.

Passo 3

Operação identidade E: por definição está sempre presente. Ela deixa todas as coordenadas invariantes: (x,y,z)\mapsto(x,y,z). É a operação que não faz nada — serve como referência.

Passo 4

Rotação de 180^\circ em torno do eixo perpendicular ao plano molecular (eixo z): C_2(z). Em coordenadas essa rotação age como
(x,y,z)\mapsto(-x,-y,z).
Aplicando aos nossos pontos: \text{C}_1(+a,0,0)\mapsto\text{C}_2(-a,0,0), \text{Cl}_1(+a,+b,0)\mapsto\text{Cl}_2(-a,-b,0), \text{H}_1(+a,-b,0)\mapsto\text{H}_2(-a,+b,0). Todos os átomos vão para posições ocupadas por átomos idênticos, logo C_2(z) é uma operação de simetria.
Explicação didática rápida: para testar uma rotação C_n, imaginamos girar a molécula em torno de um eixo; se após a rotação cada átomo ocupa a posição de um átomo idêntico, a rotação é simetria.

Passo 5

Centro de inversão i no ponto médio da dupla ligação (origem): a inversão atua como
(x,y,z)\mapsto(-x,-y,-z).
Como todos os átomos têm z=0, essa inversão leva (x,y,0)\mapsto(-x,-y,0), que é exatamente a posição de um átomo idêntico (por exemplo \text{Cl}_1(+a,+b,0)\mapsto\text{Cl}_2(-a,-b,0)). Assim, existe um centro de inversão.
Observação didática: um centro de inversão existe quando para cada átomo em (x,y,z) há um átomo idêntico em (-x,-y,-z).

Passo 6

Plano reflexo horizontal \sigma_h, que é o próprio plano molecular (plano xy): sua operação é z\mapsto -z mantendo x e y. Como todos os átomos estão em z=0, o plano xy reflete a molécula sobre si mesma (cada átomo fica sobre si). Logo \sigma_h é uma operação de simetria.
Dica prática: plano horizontal \sigma_h é aquele perpendicular ao eixo principal de rotação e que corta a molécula; aqui o eixo principal é C_2(z), e o plano que o corta perpendicularmente é o plano molecular.

Passo 7

Verificação de operações adicionais (por exclusão):
  • Planos verticais \sigma_v (por exemplo plano xz com y\mapsto -y) trocariam \text{Cl} por \text{H} no mesmo carbono (posições diferentes de elementos), portanto não são simetrias.
  • Rotação C_2 ao longo do eixo x (ao longo da ligação C=C) aplicaria (x,y,z)\mapsto(x,-y,-z) e trocaria \text{Cl} e \text{H} no mesmo carbono — não é simetria.
    Assim, não existem outros eixos C_2 nem planos verticais de reflexão relevantes. As únicas operações são as já identificadas: E,\; C_2(z),\; i,\; \sigma_h.

Passo 8

Identificação do grupo de pontos: o conjunto de operações \{E,\; C_2,\; i,\; \sigma_h\} é exatamente o conjunto que define o grupo de pontos C_{2h}. Conclusão: trans-1,2-dicloroetileno tem grupo de pontos C_{2h}.
Regra prática para reconhecer C_{2h}: existe um eixo C_2, existe um plano de simetria perpendicular a esse eixo (σh) e existe centro de inversão; esse trio de elementos caracteriza C_{2h}.

Resposta

E,\; C_2(z),\; i,\; \sigma_h
x: eixo ao longo da ligação C=C; y: no plano molecular, perpendicular a x (apontando na direção do \text{Cl} do carbono à direita); z: perpendicular ao plano molecular (saindo do plano), que é o eixo do C_2.
C_{2h}

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