Para cada uma das moléculas ou íons indicados abaixo: a) Identifique todas as operações de simetria;
b) Especifique os eixos x, y e z; c) Determine o grupo de pontos da molécula ou íon (ver respostas ao final da lista).
4) 1,2-dicloroetano eclipsado com os átomos de cloro também eclipsados

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a conformação eclipsada de 1,2-dicloroetano (com os átomos de cloro também eclipsados): (a) identificar todas as operações de simetria; (b) especificar os eixos x,y,z; (c) determinar o grupo de pontos da molécula/íon.
Informações dadas e assumidas explicitamente: a molécula é 1,2-dicloroetano, fórmula estrutural \mathrm{Cl-CH_2-CH_2-Cl}, e está na conformação eclipsada com os dois átomos de cloro alinhados (dihedral dos Cl igual a 0^\circ). Não há figura fornecida; vou usar a descrição geométrica padrão: cada carbono é aproximadamente tetraédrico (ângulos ~ 109{,}5^\circ), cada carbono tem um Cl e dois H, e, olhando ao longo da ligação C–C (projeção de Newman), o Cl do carbono da frente está diretamente eclipsando o Cl do carbono de trás.

Passo 2

Vamos primeiro visualizar com calma (Newman e espacial). Faça este exercício mental comigo: olhe ao longo do eixo da ligação C–C. No carbono da frente há três substituintes espaçados ~ 120^\circ: um \mathrm{Cl} e dois \mathrm{H}. No carbono de trás há a mesma coisa, e na conformação eclipsada os substituintes têm alinhamento angular idêntico (ou seja, \mathrm{Cl} frente está diretamente em frente da \mathrm{Cl} de trás, e cada H está em frente a um H). Como os hidrogênios são indistinguíveis entre si, trocar dois H é aceitável como simetria. Essa imagem vai ser usada para testar cada operação de simetria.

Passo 3

Operação trivial: identidade. Sempre existe a operação identidade E (não altera nada). Então já temos E.
Explicação curta do conceito (útil para prova): E é “não fazer nada” — conta como operação de simetria em todo grupo de pontos.

Passo 4

Procure planos de reflexão que contenham a ligação C–C. Considere o plano que contém a ligação C–C e os dois átomos de cloro (ou seja, o plano que passa por ambos os Cl e pela linha que une os dois carbonos). Ao refletir nesse plano:
  • cada cloro fica sobre si mesmo (porque está no plano);
  • os dois hidrogênios de cada carbono, que estão dispostos simetricamente em torno do plano, se trocam entre si, mas como são idênticos isso é permitido.
Logo esse plano é uma reflexo de simetria. Denotamos este plano por \sigma_v^{(1)}.
Importante didático: um plano de simetria pode trocar dois átomos idênticos; isso não quebra a simetria porque a molécula é quimicamente indistinguível após a troca.

Passo 5

Agora considere o outro plano vertical que também contém a ligação C–C, mas é perpendicular ao plano anterior — esse plano passa pela ligação C–C e bisecta os ângulos entre os pares de hidrogênios (ou seja, passa pelo espaço entre os pares de H, não pelos Cl). Ao refletir neste segundo plano:
  • os dois cloros, que estão simetricamente dispostos em relação a esse plano (um à esquerda, outro à direita ao longo da visão transversal), trocam de lugar; porém, eles são idênticos, então a troca é aceitável;
  • os hidrogênios em cada carbono podem ficar em posições que se trocam entre si, mas todos são H idênticos.
Portanto esse segundo plano também é um plano de reflexo válido; chamamos de \sigma_v^{(2)}.
Resumo até aqui: temos E,\\ \sigma_v^{(1)},\\ \sigma_v^{(2)}.

Passo 6

Procure um eixo de rotação de ordem 2 ( C_2) que combine com esses planos. Observe que os dois planos \sigma_v^{(1)} e \sigma_v^{(2)} se intersectam ao longo de uma linha que passa pelo ponto médio da ligação C–C e é perpendicular à própria ligação C–C — essa linha troca o carbono da frente com o carbono de trás quando se rotaciona 180^\circ. Ou seja, existe um eixo que passa pelo centro da ligação C–C, perpendicular à ela, tal que uma rotação de 180^\circ em torno desse eixo troca os dois carbonos e leva cada substituinte do carbono da frente para o substituinte correspondente do carbono de trás:
  • a \mathrm{Cl} da frente vai para a posição da \mathrm{Cl} de trás;
  • cada \mathrm{H} da frente vai para a posição do \mathrm{H} correspondente de trás.
Como os átomos que se trocam são idênticos em cada par, essa rotação é uma simetria válida. Denotamos essa rotação por C_2.
Dica de prova: quando há dois planos verticais que se cruzam, normalmente existe um eixo C_2 perpendicular ao plano que contém a molécula que intercambia metades; isso é característico de grupos do tipo C_{2v}.

Passo 7

Verificações negativas (muito importante na prova): mostrar o que não existe.
  • Não existe um eixo C_n com n>2 (por exemplo C_3) ao longo da ligação C–C, porque os substituintes em cada carbono não são todos idênticos (há uma \mathrm{Cl} e dois \mathrm{H}); uma rotação de 120^\circ ou 360^\circ/3 não levaria a configuração idêntica. Logo não há C_3 ou C_6 etc.
  • Não há um eixo C_2 ao longo da ligação C–C. Uma rotação de 180^\circ em torno da própria ligação C–C rodaria cada carbono sobre si e colocaria o \mathrm{Cl} em posição de H naquele mesmo carbono — isso não é simetria.
  • Não existe centro de inversão i: inverter através do ponto médio da ligação C–C levaria os Cl a posições de H (ou a posições que não existem), então i está ausente.
  • Não existe elemento improprio de ordem maior (por exemplo S_n com n>1) compatível com os elementos já encontrados.
Conclusão dessas verificações: as únicas operações são E,\\ C_2,\\ \sigma_v^{(1)},\\ \sigma_v^{(2)} (e composições delas, que fecham o grupo).

Passo 8

Agora vamos escolher e rotular os eixos x,y,z de forma clara (isso ajuda muito na prova para listar as operações). Em grupos C_{2v} é comum escolher o eixo principal z como o eixo de maior ordem (aqui o único eixo de rotação não-trivial), e escolher os planos de reflexão como \sigma_v(xz) e \sigma_v(yz). Baseado na geometria que determinamos:
  • Escolha do eixo z: eixo de rotação C_2 que passa pelo ponto médio da ligação C–C e é perpendicular à própria ligação C–C (ou seja, z atravessa o espaço entre as duas metades e troca os carbonos). Então z é perpendicular à linha que une os dois carbonos.
  • Escolha do eixo x: eixo x alinhado com a ligação C–C (linha que une os dois carbonos). Assim o plano xz é exatamente o plano que contém a ligação C–C e os dois cloros — esse será \sigma_v^{(1)}=\sigma_v(xz).
  • Escolha do eixo y: eixo y perpendicular aos outros dois e completando o sistema ortogonal (ou seja, y é perpendicular tanto a x quanto a z); o plano yz é então o outro plano de reflexão \sigma_v^{(2)}=\sigma_v(yz), que bisecta os ângulos entre os H.
Verificação: com essa escolha, \sigma_v(xz) contém os dois Cl (eles ficam no plano), e \sigma_v(yz) bisecta os H. A rotação C_2 é em torno de z e troca a frente com a trás.

Passo 9

Fechamento do raciocínio: temos exatamente as quatro operações listadas abaixo (e nenhum elemento adicional):
E,\quad C_2\\ (\text{eixo } z),\quad \sigma_v(xz),\quad \sigma_v(yz).
Essas quatro operações compõem o grupo conhecido como C_{2v}. Portanto a molécula na conformação descrita pertence ao grupo de pontos C_{2v}.

Passo 10

Resumo prático para prova (como identificar rapidamente em outras moléculas semelhantes): procure planos contendo a ligação principal e substituintes idênticos; verifique se há um eixo que troca as metades (troca C frente ↔ C trás) — isso normalmente será o C_2 se existir; confirme ausência de rotações de ordem >2 e de centro de inversão; com dois planos verticais e um C_2 você já marca C_{2v}. Respire fundo — isso é examente o tipo de reconhecimento que cai em prova.

Resposta

(a) E,\; C_2,\; \sigma_v(xz),\; \sigma_v(yz)
(b) x ao longo da ligação C–C, z eixo C_2 (perpendicular à ligação C–C passando pelo ponto médio), y perpendicular a x e z (com xz contendo os dois Cl)
(c) C_{2v}

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