Para cada n>2 mostre que existem n inteiros positivos e dois a dois distintos tais que
\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\ldots .+\frac{1}{x_{n}}=1

Passo 1

O enunciado pede que, dado qualquer inteiro n>2, eu mostre que existem n inteiros positivos, todos distintos dois a dois, tais que
\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\ldots+\frac{1}{x_{n}}=1.
Informações relevantes que já estão dadas ou implícitas:
  • n é um inteiro maior que 2.
  • Os x_{1},\dots,x_{n} devem ser inteiros positivos.
  • Os x_{i} devem ser todos distintos (pares distintos).
  • Preciso apenas provar existência (não é necessário listar todos os possíveis conjuntos, só mostrar um método que funciona para todo n>2).

Passo 2

Mostro um caso base simples e concreto: para n=3 já conhecemos a identidade clássica
\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1.
Explicando passo a passo: somando \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3} \tfrac{3}{6}+\tfrac{2}{6}=\tfrac{5}{6}, e adicionando \tfrac{1}{6} chega-se a 1. Os denominadores 2,3,6 são inteiros positivos e distintos. Então existe solução para n=3.

Passo 3

Vou apresentar uma identidade que permite aumentar o número de parcelas mantendo a soma igual a 1. A identidade é, para qualquer inteiro x\ge 2,
\frac{1}{x}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x(x+1)}.
Prova algébrica da identidade: colocar as duas parcelas do lado direito sobre o mesmo denominador:
\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x(x+1)}=\frac{x}{x(x+1)}+\frac{1}{x(x+1)}=\frac{x+1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}.
Ou seja, a igualdade é exata. Observação importante para a construção: os dois novos denominadores x+1 e x(x+1) são inteiros positivos maiores que x, e entre si são distintos ( x+1 < x(x+1) quando x\ge 2).

Passo 4

Ideia construtiva (método que vou usar para todo n>2): começar com a escrita para n=3 (os números 2,3,6) e aplicar repetidamente a identidade do Passo 3 a um dos termos da soma — sempre ao maior denominador atual. Cada aplicação da identidade substitui uma parcela \tfrac{1}{x} por duas parcelas \tfrac{1}{x+1} e \tfrac{1}{x(x+1)}, aumentando o número total de parcelas em exatamente 1 e preservando a soma total. Como x+1 e x(x+1) são ambos maiores que x, se eu sempre escolher para dividir o maior denominador atual, os novos denominadores serão maiores que todos os anteriores, garantindo que não haja repetição com denominadores já existentes. Assim a propriedade “todos distintos” é preservada em cada passo.
Explicando com palavras mais amáveis: começo com \{2,3,6\}. O maior é 6. Substituo \tfrac{1}{6} por \tfrac{1}{7}+\tfrac{1}{42}. Agora os denominadores são \{2,3,7,42\} — todos distintos. Se quiser mais uma parcela, pego o maior, 42, e o divido: \tfrac{1}{42}=\tfrac{1}{43}+\tfrac{1}{1806}. Agora tenho \{2,3,7,43,1806\}. Repetindo esse processo mais n-3 vezes obtenho exatamente n parcelas.

Passo 5

Formalizando por indução controlada:
  • Já vimos o caso inicial n=3.
  • Suponha que, após k aplicações da operação de substituição (cada aplicação aumentando o número de parcelas em 1), obtemos uma soma de 3+k parcelas com denominadores positivos distintos e cuja soma é 1. Isso é verdade para k=0 (caso base).
  • Ao aplicar a identidade ao maior denominador M dessa soma, substituímos \tfrac{1}{M} por \tfrac{1}{M+1}+\tfrac{1}{M(M+1)}. O número de parcelas passa a ser 3+k+1. Os novos denominadores são M+1 e M(M+1), ambos maiores que M e, portanto, maiores que todos os denominadores anteriores; assim continuam todos distintos. A soma permanece 1 por identidade.
  • Logo, por indução finita, para qualquer t\ge 0 podemos obter uma escrita com 3+t parcelas distintas que somam 1.
Tomando t=n-3 (que é \ge 1 porque n>2), obtemos uma decomposição com exatamente n parcelas distintas.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar a intuição (mostrando que o processo funciona na prática): para n=5
  • Começo com \{2,3,6\}.
  • Divido 6: \{2,3,7,42\} (4 parcelas).
  • Divido 42: \{2,3,7,43,1806\} (5 parcelas).
    A soma permanece 1. Os denominadores são todos distintos e positivos. Para qualquer n continuo dividindo o maior denominador até atingir exatamente n termos.

Resposta

Para cada n>2 existem inteiros positivos distintos x_{1},\dots,x_{n} tais que
\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\ldots+\frac{1}{x_{n}}=1,
por exemplo obtidos começando com \{2,3,6\} e aplicando repetidamente a identidade \displaystyle\frac{1}{x}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x(x+1)} ao maior denominador até ter n termos.

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