Para cada
mostre que existem
inteiros positivos e dois a dois distintos tais que
Passo 1
O enunciado pede que, dado qualquer inteiro
, eu mostre que existem
inteiros positivos, todos distintos dois a dois, tais que
Informações relevantes que já estão dadas ou implícitas:
-
é um inteiro maior que . - Os
devem ser inteiros positivos. - Os
devem ser todos distintos (pares distintos). - Preciso apenas provar existência (não é necessário listar todos os possíveis conjuntos, só mostrar um método que funciona para todo
).
Passo 2
Mostro um caso base simples e concreto: para
já conhecemos a identidade clássica
Explicando passo a passo: somando
dá
, e adicionando
chega-se a
. Os denominadores
são inteiros positivos e distintos. Então existe solução para
.
Passo 3
Vou apresentar uma identidade que permite aumentar o número de parcelas mantendo a soma igual a
. A identidade é, para qualquer inteiro
,
Prova algébrica da identidade: colocar as duas parcelas do lado direito sobre o mesmo denominador:
Ou seja, a igualdade é exata. Observação importante para a construção: os dois novos denominadores
e
são inteiros positivos maiores que
, e entre si são distintos (
quando
).
Passo 4
Ideia construtiva (método que vou usar para todo
): começar com a escrita para
(os números
) e aplicar repetidamente a identidade do Passo 3 a um dos termos da soma — sempre ao maior denominador atual. Cada aplicação da identidade substitui uma parcela
por duas parcelas
e
, aumentando o número total de parcelas em exatamente
e preservando a soma total. Como
e
são ambos maiores que
, se eu sempre escolher para dividir o maior denominador atual, os novos denominadores serão maiores que todos os anteriores, garantindo que não haja repetição com denominadores já existentes. Assim a propriedade “todos distintos” é preservada em cada passo.
Explicando com palavras mais amáveis: começo com
. O maior é
. Substituo
por
. Agora os denominadores são
— todos distintos. Se quiser mais uma parcela, pego o maior,
, e o divido:
. Agora tenho
. Repetindo esse processo mais
vezes obtenho exatamente
parcelas.
Passo 5
Formalizando por indução controlada:
- Já vimos o caso inicial
. - Suponha que, após
aplicações da operação de substituição (cada aplicação aumentando o número de parcelas em 1), obtemos uma soma de parcelas com denominadores positivos distintos e cuja soma é . Isso é verdade para (caso base). - Ao aplicar a identidade ao maior denominador
dessa soma, substituímos por . O número de parcelas passa a ser . Os novos denominadores são e , ambos maiores que e, portanto, maiores que todos os denominadores anteriores; assim continuam todos distintos. A soma permanece por identidade. - Logo, por indução finita, para qualquer
podemos obter uma escrita com parcelas distintas que somam .
Tomando
(que é
porque
), obtemos uma decomposição com exatamente
parcelas distintas.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar a intuição (mostrando que o processo funciona na prática): para
- Começo com
. - Divido
: (4 parcelas). - Divido
: (5 parcelas).
A soma permanece. Os denominadores são todos distintos e positivos. Para qualquer continuo dividindo o maior denominador até atingir exatamente termos.
Resposta
Para cada
existem inteiros positivos distintos
tais que
por exemplo obtidos começando com
e aplicando repetidamente a identidade
ao maior denominador até ter
termos.