P(n): 1+3+5+\cdots+(2 n-1)=n^{2}, \text { para todo inteiro positivo } n .
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que a proposição
P(n):\;1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^{2}
é verdadeira para todo inteiro positivo n. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{(i)}\; n \text{ é um inteiro positivo;}
\text{(ii)}\; \text{o lado esquerdo é a soma dos primeiros \(n\) números ímpares, cujo último termo é }(2n-1).
Não há outras condições escondidas; devemos provar que a igualdade vale para todo n\ge 1.
Passo 2
Método escolhido: demonstração por indução matemática. Vou explicar a ideia da indução de um jeito bem simples:
\text{Indução} = \begin{cases} \text{(a) provar que a proposição vale para um começo (base);}\\\ \text{(b) assumir que vale para um \(k\) qualquer (hipótese indutiva) e então provar}\\ \qquad\text{que, sob essa hipótese, ela vale para \(k+1\) (passo indutivo).} \end{cases}
Se conseguirmos (a) e (b), então a proposição vale para todo inteiro positivo por “cadeia” — 1\Rightarrow2\Rightarrow3\Rightarrow\cdots.
Antes de começar os passos formais, escrevemos a soma de forma compacta usando sigma:
1+3+\cdots+(2n-1)=\sum_{i=1}^{n}(2i-1).
Aqui a variável i é o índice de soma que vai de 1 até n; para cada i o termo somado é 2i-1 (que é o i-ésimo ímpar).
Passo 3
Base da indução (n=1). Verificamos P(1):
\text{LHS} = 1
\text{RHS} = 1^{2}=1
Portanto 1=1, isto é, P(1) é verdadeira.
Passo 4
Hipótese indutiva. Suponha que para algum inteiro positivo arbitrário k a proposição seja verdadeira; isto é, aceite como hipótese que
\sum_{i=1}^{k}(2i-1)=k^{2}.
Eu explico: isso significa que estamos supondo que a soma dos primeiros k ímpares dá k^{2}. A ideia é usar essa suposição para mostrar que a soma dos primeiros k+1 ímpares dá (k+1)^{2}.
Passo 5
Passo indutivo — provar P(k+1). Começamos pela soma até k+1:
Calculamos o segundo termo explicitamente: 2(k+1)-1=2k+2-1=2k+1. Então
k^{2}+(2k+1)=k^{2}+2k+1.
Reconhecemos que k^{2}+2k+1 é exatamente (k+1)^{2}, pois
(k+1)^{2}=k^{2}+2k+1.
Portanto chegamos a
\sum_{i=1}^{k+1}(2i-1)=(k+1)^{2},
ou seja, P(k+1) é verdadeira sempre que P(k) for verdadeira.
Passo 6
Conclusão por indução. Já mostramos a base P(1) e provamos que P(k)\Rightarrow P(k+1). Pelo princípio da indução matemática, a proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro positivo n.
Passo 7
Interpretação intuitiva (ajuda de memória para a prova): cada número ímpar é a “coroa” que adicionamos para formar um quadrado maior. Por exemplo, 1=1^{2}; adicionando 3 a 1 obtemos 4=2^{2}; adicionando 5 a 4 obtemos 9=3^{2}, e assim por diante. Isso explica geometricamente por que a soma dos n primeiros ímpares é n^{2}. Força aí — com essa prova em mente dá pra explicar rapidinho na prova!