Questão 5 [QUESTÃO EXTRA] (4 pts)Escolha um item e resolva
Encontre o centro de massa da região
sendo a função densidade proporcional à distância do ponto à origem.
Encontre o centro de massa da região
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa da região
quando a densidade em cada ponto é proporcional à distância ao origem.\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A região
é a metade superior da elipse definida por (ou seja, a parte com ).\n - A densidade é proporcional à distância ao origem; isto é, existe uma constante
tal que, para um ponto , a densidade é .\n - O que precisamos encontrar são as coordenadas do centro de massa
da região com essa densidade.
Passo 2
Definição e fórmulas do centro de massa (lembrando que eu vou te explicar cada símbolo):\n
- A massa total
da placa é a integral da densidade sobre a região:
Aqui
é o elemento de área (no plano cartesiano
).\n
- As coordenadas do centro de massa são dadas por
Explicando:
é o momento em relação ao eixo
(puxa a massa para a esquerda/direita), e
é o momento em relação ao eixo
(puxa para cima/baixo). Dividindo pelo total
obtemos as coordenadas médias ponderadas.
Passo 3
Observação por simetria (coisa importante que salva tempo na prova):\n
A região é simétrica em relação ao eixo
(para cada ponto
em
existe
também em
), e a densidade
depende apenas da distância ao origem (é função par em
). Portanto os contribuintes para
de
e
se cancelam, então
A região
Assim só precisamos calcular
.
Passo 4
Escolha de coordenadas para integração e expressão das integrais.\n
É conveniente usar coordenadas polares :
É conveniente usar coordenadas polares
e a densidade fica
(porque a distância ao origem é
).\n
Agora precisamos descrever a região em polares: a condição
vira
Agora precisamos descrever a região
ou seja, para cada ângulo
com
(pois
) o raio
varia de
até
Portanto as integrais ficam (vou escrever e te explicar cada passo):
Integrando em
:
Para o momento vertical:
portanto
e assim
A constante
cancela (ufa!). Até aqui, só reescrevemos o problema em polares.
Passo 5
Manipulação que simplifica as integrais usando uma parametrização alternativa mais adaptada à elipse (truque útil na prova).\n
É prático reparametrizar a elipse por escala nos eixos: como a elipse tem equação , podemos usar
É prático reparametrizar a elipse por escala nos eixos: como a elipse tem equação
com
e
. Essa parametrização escala o eixo
por
e transforma a elipse em um disco unitário no parâmetro
.\n
Calcule o jacobiano (o fator que transforma em
). Para a transformação
com
o jacobiano é
. Aqui
e
, logo
Calcule o jacobiano (o fator que transforma
A distância ao origem (densidade) é agora
onde definimos
.\n
Usando essa parametrização, a massa total fica
Usando essa parametrização, a massa total fica
Integrando em
(explico:
):
O momento vertical é
Reunindo constantes e integrando em
(
) obtemos
Portanto
Observação: a vantagem desse caminho é que
integra facilmente (porque
varia de
a
), e toda a dificuldade fica em integrais em
envolvendo
.
Passo 6
Redução das integrais em
a integrais em uma variável mais simples e uso de simetrias.\n
Note que e
têm simetrias em
:
e
. Assim podemos escrever as integrais de
a
como o dobro das integrais de
a
. Ou seja,
Note que
Agora fazemos a substituição
(que simplifica porque
depende de
e
). Para
temos
descendo de
a
, e
.\n
Calcule as duas integrais:
Calcule as duas integrais:
- Para a integral com
:
Simplificando a raiz:
logo a integral vira
- Para a integral sem
:
Agora, ao recombinar o fator
que vimos acima (porque integrávamos de
a
), obtemos:
Para abreviar, defina
Então a expressão para
fica simples:
Passo 7
Avaliação de
explicitamente e avaliação numérica de
.\n
Primeiro é uma integral elementar do tipo
. Usamos a primitiva conhecida:
Primeiro
Avaliada de
a
:
No ponto
temos
, então
Essa é uma expressão exata para
. Numericamente:
portanto
Para
não existe primitiva elementar simples; trata-se de uma integral que pode ser expressa por integrais elípticos. Aqui vamos calcular numericamente
com boa precisão (método numérico: regra de Simpson com subdivisões suficientes — na prova você pode usar calculadora ou aceitar expressão em termos de integrais elípticas). Aplicando uma aproximação numérica cuidadosa obtém-se
(Expliquei o método: dividir
em subintervalos, avaliar a função
nos nós e aplicar Simpson; o resultado converge para o valor indicado.)
Passo 8
Cálculo final de
e conclusão.\n
Usando os valores numéricos obtidos:
Usando os valores numéricos obtidos:
Arredondando para três casas decimais (suficiente para uma resposta típica de prova):
Lembre que
por simetria (Passo 3).