Prove que 7 divide
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
divide
para todo
.
Informações dadas/claras no enunciado:
Informações dadas/claras no enunciado:
-
é um inteiro com . - Queremos mostrar que
é múltiplo de (ou seja, que divide esse número) para todo válido.
Passo 2
Primeira observação simples e crucial:
e
são congruentes módulo
. Vou explicar o que isso significa. Dizemos que
quando
divide
. Aqui
e
é divisível por
. Logo
Isso significa, na linguagem de restos, que
e
deixam o mesmo resto quando divididos por
.
Passo 3
Agora precisamos de um fato útil (vou provar ele também, passo a passo): se
, então para todo inteiro
vale
Esse é exatamente o tipo de propriedade que nos permite elevar congruências a potências. Vou demonstrar por indução em
.
Passo 4
Prova do fato por indução:
- Base
. Trivial: porque por hipótese. - Passo indutivo. Suponha que vale para
, isto é, suponha
Queremos mostrar que então vale para
. Começamos com
Pela hipótese indutiva temos
, então multiplicando essa congruência por
obtemos
ou seja
Mas também temos
pela hipótese inicial; multiplicando essa congruência por
dá
Juntando as duas congruências (transitividade), chegamos a
Isso fecha a indução. Portanto, provamos que para todo
vale
sempre que
.
Passo 5
Aplique o fato ao nosso caso específico: colocamos
,
e
. Como vimos no Passo 2,
. Pelo resultado do Passo 4, para todo
temos
Passo 6
A congruência
significa, por definição, que
divide a diferença
. Em outras palavras, existe um inteiro
tal que
Isso é exatamente a afirmação pedida:
divide
para todo
.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar a ideia: para
temos
, múltiplo de
. Para
temos
e
. Esses exemplos ilustram o que provamos de forma geral.