Prove que 7 divide 10^{n}-3^{n} para todo n \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede para provar que 7 divide 10^{n}-3^{n} para todo n\geq 1.
Informações dadas/claras no enunciado:
  • n é um inteiro com n\geq 1.
  • Queremos mostrar que 10^{n}-3^{n} é múltiplo de 7 (ou seja, que 7 divide esse número) para todo n válido.

Passo 2

Primeira observação simples e crucial: 10 e 3 são congruentes módulo 7. Vou explicar o que isso significa. Dizemos que a\equiv b\pmod m quando m divide a-b. Aqui
10-3=7,
e 7 é divisível por 7. Logo
10\equiv 3\pmod 7.
Isso significa, na linguagem de restos, que 10 e 3 deixam o mesmo resto quando divididos por 7.

Passo 3

Agora precisamos de um fato útil (vou provar ele também, passo a passo): se a\equiv b\pmod m, então para todo inteiro n\geq 1 vale
a^{n}\equiv b^{n}\pmod m.
Esse é exatamente o tipo de propriedade que nos permite elevar congruências a potências. Vou demonstrar por indução em n.

Passo 4

Prova do fato por indução:
  • Base n=1. Trivial: a^{1}\equiv b^{1}\pmod m porque a\equiv b\pmod m por hipótese.
  • Passo indutivo. Suponha que vale para n=k, isto é, suponha
a^{k}\equiv b^{k}\pmod m.
Queremos mostrar que então vale para n=k+1. Começamos com
a^{k+1}=a\cdot a^{k}.
Pela hipótese indutiva temos a^{k}\equiv b^{k}\pmod m, então multiplicando essa congruência por a obtemos
a\cdot a^{k}\equiv a\cdot b^{k}\pmod m,
ou seja
a^{k+1}\equiv a\cdot b^{k}\pmod m.
Mas também temos a\equiv b\pmod m pela hipótese inicial; multiplicando essa congruência por b^{k}
a\cdot b^{k}\equiv b\cdot b^{k}=b^{k+1}\pmod m.
Juntando as duas congruências (transitividade), chegamos a
a^{k+1}\equiv b^{k+1}\pmod m.
Isso fecha a indução. Portanto, provamos que para todo n\ge1 vale a^{n}\equiv b^{n}\pmod m sempre que a\equiv b\pmod m.

Passo 5

Aplique o fato ao nosso caso específico: colocamos a=10, b=3 e m=7. Como vimos no Passo 2, 10\equiv 3\pmod 7. Pelo resultado do Passo 4, para todo n\ge1 temos
10^{n}\equiv 3^{n}\pmod 7.

Passo 6

A congruência 10^{n}\equiv 3^{n}\pmod 7 significa, por definição, que 7 divide a diferença 10^{n}-3^{n}. Em outras palavras, existe um inteiro k tal que
10^{n}-3^{n}=7k.
Isso é exatamente a afirmação pedida: 7 divide 10^{n}-3^{n} para todo n\ge1.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar a ideia: para n=1 temos 10-3=7, múltiplo de 7. Para n=2 temos 10^{2}-3^{2}=100-9=91 e 91=7\cdot13. Esses exemplos ilustram o que provamos de forma geral.

Resposta

7 divide 10^{n}-3^{n} para todo n\geq 1.

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