Para cada um dos números complexos z abaixo, escreva na forma z=r e^j theta.
z=(raiz3-j)^6

Passo 1

Estamos considerando o número complexo z = (raiz3 - j)^6. O conteúdo envolve conversão de um número complexo para a forma re^jtheta e uso do teorema de De Moivre. Para resolver, vamos extrair o módulo e o argumento de raiz3-j e depois aplicar De Moivre.

Passo 2

Para escrever raiz3-j em forma polar, calculamos o módulo
r = raiz(raiz3)^2 + (-1)^2 = raiz3 + 1 = 2
e o argumento usando
theta = arctangl(ImRegr) = arctangl(-1raiz3gr) = -pi6
Como Re>0 e Im<0, o ponto está no quarto quadrante, confirmando theta = -pi/6.

Passo 3

Logo podemos escrever
raiz3 - j = 2 e^ -jpi/6
Agora aplicamos o teorema de De Moivre: para w = r e^jtheta, vale w^n = r^n e^j ntheta.

Passo 4

Logo
z = (2 e^-jpi/6)^6 = 2^6 ;e^j,(6 times -pi/6) = 64 ;e^-jpi
Como a exponencial complexa é periódica de período 2pi, temos e^-jpi = e^jpi. Portanto o argumento principal é pi.

Resposta

64 e^jpi

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