Esboce e calcule a área da região limitada pelas curvas:
y=x^2, y=x+6.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pela parábola y=x^2 e pela reta y=x+6. O conteúdo é cálculo de área entre curvas, e vamos precisar encontrar os pontos de interseção, identificar qual curva fica por cima no intervalo e aplicar a fórmula da integral definida para área entre duas funções.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as funções:
x^2 = x + 6
Isso leva a
x^2 - x - 6 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes
x = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52,
portanto x=-2 e x=3.

Passo 3

Para esboçar a região, desenhamos a parábola y=x^2 e a reta y=x+6, marcamos os pontos de interseção em (-2,4) e (3,9) e sombrear a faixa entre as duas curvas. Observamos que, para -2 <= x <= 3, a reta está acima da parábola.

Passo 4

A área entre as curvas de x=-2 a x=3 é dada por
A = integral-2^3 l[(x+6) - x^2r] ,dx

Passo 5

Calculamos a integral:
integral (x+6 - x^2) ,dx = x^22 + 6x - x^33 + C
Avaliando de -2 a 3:
l(3^22 + 6cdot3 - 3^33r) - l((-2)^22 + 6cdot(-2) - (-2)^33r) = 272 - l(2 - 12 + 83r) = 272 - l(-223r) = 272 + 223 = 1256

Resposta

A área da região limitada é tfrac1256 unidades de área.

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