Esboce e calcule a área da região limitada pelas curvas: .
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas (uma parábola voltada para baixo) e (uma reta). O conteúdo aqui é área entre curvas usando integração e a gente vai precisar achar os pontos de interseção, decidir qual é a função superior e montar a integral.
Passo 2
Para encontrar os limites de integração, igualamos as duas funções:
Isso leva à equação quadrática
Cuja solução é
Chamando e .
Passo 3
Para ver qual curva fica por cima, basta testar um valor simples, por exemplo : e , então a parábola está acima da reta em todo o intervalo.
Passo 4
A área entre duas curvas e de a é dada por
Aqui e , então o integrando vira
Passo 5
Calculamos a integral
Passo 6
Agora avaliamos de a . Para simplificar, note que
Usando esses resultados na diferença
chegamos a
A = 73raiz736
Passo 7
O esboço é uma parábola abrindo para baixo interceptando o eixo y em 12 e uma reta de inclinação positiva cortando o eixo y em -6, e a região fica entre os pontos de interseção x1 e x2.