Esboce e calcule a área da região limitada pelas curvas:
y=12-x^2, y=x-6.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas y = 12 - x^2 (uma parábola voltada para baixo) e y = x - 6 (uma reta). O conteúdo aqui é área entre curvas usando integração e a gente vai precisar achar os pontos de interseção, decidir qual é a função superior e montar a integral.

Passo 2

Para encontrar os limites de integração, igualamos as duas funções:
12 - x^2 = x - 6
Isso leva à equação quadrática
x^2 + x - 18 = 0
Cuja solução é
x = -1 pm raiz732
Chamando x1 = tfrac-1 - raiz732 e x2 = tfrac-1 + raiz732.

Passo 3

Para ver qual curva fica por cima, basta testar um valor simples, por exemplo x=0:
yparábola(0)=12á e yreta(0)=-6, então a parábola está acima da reta em todo o intervalo.

Passo 4

A área entre duas curvas ysup e yinf de x1 a x2 é dada por
A=integralx1^x2 l(ysup(x)-yinf(x)r),dx
Aqui ysup=12-x^2 e yinf=x-6, então o integrando vira
12 - x^2 - (x - 6) = 18 - x - x^2

Passo 5

Calculamos a integral
integral (18 - x - x^2),dx = 18x - x^22 - x^33 + C

Passo 6

Agora avaliamos de x1 a x2. Para simplificar, note que
x2 - x1 = raiz73,
x2^2 - x1^2 = (x2 - x1)(x2 + x1) = -raiz73,
x2^3 - x1^3 = (x2 - x1)(x2^2 + x2x1 + x1^2) = 19raiz73
Usando esses resultados na diferença
l(18x - tfracx^22 - tfracx^33r)|x1^x2,
chegamos a
A = 73raiz736

Passo 7

O esboço é uma parábola abrindo para baixo interceptando o eixo y em 12 e uma reta de inclinação positiva cortando o eixo y em -6, e a região fica entre os pontos de interseção x1 e x2.

Resposta

73raiz736

Exercícios relacionados