Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}-20 x-10 y-15 z=-40, \\\\ 20 y+32 z=12 .\end{array}\right. \left\{\begin{aligned} 5 x+40 y+25 z & =20, \\\\ 3 x+24 y+15 z & =12 .\end{aligned}\right.
(B) \left\{\begin{array}{r}4 x+2 y+3 z=8, \\\\ 5 y+8 z=3, \\\\ 20 y+32 z=12 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-5 x-40 y-25 z=-20, \\\\ 12 x+8 y=36, \\\ x=7 .\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}-5 x-40 y-25 z=-20 \text {, } \\\\ 8 x+36 z=28 \text {. }\end{array}\right. \left\{\begin{aligned} 20 x+5 y+40 z & =25, \\\\ 12 x+3 y+24 z & =15 .\end{aligned}\right.
(D) \left\{\begin{aligned}-12 x-8 y & =-36, \\\\ -9 x-6 y & =-27 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{array}{r}4 x+y+8 z=5, \\\\ 2 x+9 z=7, \\\\ 10 x+45 z=35 .\end{array}\right.
(E) \left\{\begin{array}{r}x+8 y+5 z=4, \\\\ -5 x-40 y-25 z=-20, \\\\ 3 x+2 y=9 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}4 x+32 y+20 z=16, \\\\ -10 x-45 z=-35 .\end{array}\right.
(F) \left\{\begin{aligned} x+8 y+5 z & =4, \\\\ 3 x+2 y & =9, \\\ x & =7 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{aligned} 5 x+40 y+25 z & =20, \\\\ 6 x+27 z & =21 .\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá várias opções, cada uma com dois sistemas lineares em (x,y,z). Queremos a opção em que ambos os sistemas tenham conjunto‐solução de dimensão 1, ou seja, sejam retas em \mathbb{R}^3.
Em geral, um sistema linear com n=3 incógnitas e posto r tem conjunto‐solução afim de dimensão 3 - r. Para obter uma reta (dimensão 1), precisamos de r=2 e que o sistema seja consistente.
Passo 2
Opção (A):
Sistema 1: \{-20x-10y-15z=-40,\;20y+32z=12\}.
As duas equações são independentes (uma envolve x e a outra não), então r=2 e a solução é reta.
Sistema 2: \{5x+40y+25z=20,\;3x+24y+15z=12\}.
Note que
dá exatamente 5x+40y+25z=20. Logo há só uma equação independente, r=1, e a solução é plano (dimensão 2).
Portanto (A) está fora.
Passo 3
Opção (B):
Sistema 1: \{4x+2y+3z=8,\;5y+8z=3,\;20y+32z=12\}.
As últimas duas são dependentes 20y+32z=4\cdot(5y+8z), sobrando duas equações independentes, r=2, solução reta.
Sistema 2: \{-5x-40y-25z=-20,\;12x+8y=36,\;x=7\}.
Da terceira \,x=7, e daí 12\cdot7+8y=36 dá y=-6, e finalmente -5\cdot7-40(-6)-25z=-20 dá z=9. É solução única r=3, ponto, dimensão 0.
Logo (B) não serve.
Passo 4
Opção (C):
Sistema 1: \{-5x-40y-25z=-20,\;8x+36z=28\}.
Duas equações independentes, r=2, solução reta.
Sistema 2: \{20x+5y+40z=25,\;12x+3y+24z=15\}.
Verifica-se que a segunda vezes 5/3 é exatamente a primeira, dando só uma equação independente, r=1, solução plano.
Portanto (C) sai.
Passo 5
Opção (D):
Sistema 1: \{-12x-8y=-36,\;-9x-6y=-27\}.
A segunda é \tfrac34 da primeira, só uma equação independente r=1, solução plano.
Logo (D) está fora.
Passo 6
Opção (E):
Sistema 1: \{x+8y+5z=4,\;-5x-40y-25z=-20,\;3x+2y=9\}.
A segunda é -5 vezes a primeira, sobrando duas equações independentes x+8y+5z=4 e 3x+2y=9, então r=2 e solução reta.
Sistema 2: \{4x+32y+20z=16,\;-10x-45z=-35\}.
As duas são independentes (uma envolve y, a outra não), r=2, solução reta.
Assim, em (E) ambos os sistemas têm dimensão de solução igual a 1.
Passo 7
Opção (F):
Sistema 1: \{x+8y+5z=4,\;3x+2y=9,\;x=7\}.
Da última vem x=7, de 3\cdot7+2y=9 vem y=-6, e então z se fixa em z=9. Solução única r=3, ponto.
Logo (F) não vale.