Q1: Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 3 x-3 y+5 z=2\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) \left(1,-1, \frac{1}{5}\right)+t(10,0,-6)+s(0,-20,-12)
(B) \left(-1,1, \frac{8}{5}\right)+t(13,0,-9)+s(0,-8,-8)
(C) \left(1,-1, \frac{1}{5}\right)+t(9,0,-5)+s(0,-9,-7)
(D) \left(1,-1,-\frac{4}{5}\right)+t(13,0,-9)+s(0,-8,-8)
(E) \left(-1,1, \frac{8}{5}\right)+t(10,0,-6)+s(0,-20,-12)
(F) \left(1,-1,-\frac{4}{5}\right)+t(9,0,-5)+s(0,-9,-7)

Passo 1

O enunciado pede uma forma paramétrica do plano
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 3x-3y+5z=2\}
Para isso precisamos de um ponto qualquer que satisfaça a equação do plano e de dois vetores diretores ortogonais ao vetor normal \,n=(3,-3,5).

Passo 2

Encontremos um ponto P_0 no plano. Basta escolher x=-1 e y=1 e resolver para z:
3(-1)-3(1)+5z=2 \;\Longrightarrow\; -3-3+5z=2 \;\Longrightarrow\; 5z=8 \;\Longrightarrow\; z=\tfrac{8}{5}.
Logo
P_0 = \bigl(-1,\,1,\,\tfrac{8}{5}\bigr)
é um ponto do plano.

Passo 3

Procuramos dois vetores v e w tais que \,n\cdot v=0 e n\cdot w=0.
Tomemos por exemplo
v=(10,0,-6), \quad w=(0,-20,-12).
De fato,
n\cdot v = 3\cdot10 -3\cdot0 +5\cdot(-6) =30-30=0,
n\cdot w = 3\cdot0 -3\cdot(-20) +5\cdot(-12) =60-60=0.

Passo 4

A forma paramétrica fica
(x,y,z) = \bigl(-1,\,1,\,\tfrac{8}{5}\bigr) + t\,(10,0,-6) + s\,(0,-20,-12),
que corresponde exatamente à alternativa (E).

Resposta

(E)

Exercícios relacionados