Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 2 & 2 & 2 \\\\ 2 & 8 & 2 & 2 \\\\ -2 & -8 & 2 & 0 \\\\ 1 & -2 & 8 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9

Passo 1

O enunciado dá um sistema com quatro equações e três incógnitas, representado pela matriz aumentada
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\\\ 2 & 8 & 2 & 2\\\\ -2 & -8 & 2 & 0\\\\ 1 & -2 & 8 & k \end{pmatrix}
O conteúdo aqui é consistência de sistema sobredeterminado (mais equações que incógnitas). Para que haja solução, a quarta equação deve ser combinação linear das três primeiras, de modo que a parte dos termos constantes também se combine corretamente.

Passo 2

Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma tais que, usando apenas as partes das colunas de coeficientes,
\alpha\,(1,2,2)+\beta\,(2,8,2)+\gamma\,(-2,-8,2) =(1,-2,8).
Esse vetor à direita é a linha de coeficientes da quarta equação. Se encontrarmos \alpha,\beta,\gamma, então o mesmo \alpha,\beta,\gamma aplicado aos termos constantes (2,2,0) das três primeiras equações dará k.

Passo 3

Escrevendo as três componentes do sistema para \alpha,\beta,\gamma:
\begin{cases} \alpha +2\beta -2\gamma =1,\\\\ 2\alpha+8\beta-8\gamma =-2,\\\\ 2\alpha+2\beta+2\gamma =8. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo:
  1. Da primeira equação, \alpha=1-2\beta+2\gamma.
  2. Substituindo na segunda:
2(1-2\beta+2\gamma)+8\beta-8\gamma=-2 \;\Longrightarrow\; 4\beta-4\gamma=-4 \;\Longrightarrow\; \beta-\gamma=-1 \;\Longrightarrow\; \beta=\gamma-1.
  1. Substituindo \alpha e \beta na terceira:
2(1-2(\gamma-1)+2\gamma)+2(\gamma-1)+2\gamma=8 \;\Longrightarrow\; 4\gamma+2=6 \;\Longrightarrow\; \gamma=1,
logo \beta=0 e \alpha=1-0+2=3.

Passo 5

Agora calculamos k pela combinação dos termos constantes (2,2,0):
k = 3\cdot2 + 0\cdot2 + 1\cdot0 = 6.

Resposta

(E) 6

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